Тема: Умножение и деление на двузначное число
План:
1. Теоретическая основа приемов умножения на двузначное и трехзначное число.
2. Умножение и деление на двузначное число.
3. Умножение и деление на трехзначное число как обобщение алгоритмов письменного умножения и деления.
4. Виды упражнений для совершенствования вычислительных навыков.
5. Формирование навыков письменного умножения и деления многозначных чисел на двузначное (трехзначное) число, использование приемов:
- обучение подбору цифр частного;
- нахождение цифр частного;
- приемы проверки пробной цифры частного;
- предупреждение ошибок учащихся при умножении и делении многозначных чисел;
- случай деления с нулем в частном;
- приемы самоконтроля при выполнении умножения и деления многозначных чисел.
6. Анализ альтернативных подходов.
Рекомендательная литература
1. Гребенникова Н.Л. умножение и деление многозначных чисел: Учебно-методическое пособие для учителей и студентов. – Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т., 1996. – С. 91.
2. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1997. – С. 288.
3. Урок в системе развивающего обучения: Из опыта работы / под ред. Дусавицкого А.К. – Харьков, 1998. – С. 61.
Это самая объемная тема в 4 классе. В результате ее изучения дети должны приобрести прочные навыки умножения и деления «в столбик» на однозначное, двузначное и трехзначное число, а также знать свойства арифметических действий, которые обосновывают данные вычислительные приемы.
Эта тема изучается в определенной последовательности.
Умножение и деление многозначного числа
на однозначное
Данная тема уже рассматривалась в 3 классе на примере умножения и деления трехзначного числа на однозначное. Опираясь на имеющиеся у ребенка знания соответствующих алгоритмов, можно легко их распространить на любые многозначные числа. При этом следует учесть, что первый шаг алгоритма связанный с определением количества цифр в частном и их фиксацией в виде точек, имеет большое значение для предупреждения ошибок при выполнении деления в случаях, когда в записи частного содержатся нули:
| – | |||
| – | |||
В этом случае дети часто пропускают в частном цифру 0 и вместо ответа 108 получают 18.
Умножение чисел, оканчивающихся нулями
На подготовительном этапе к изучению данного приема дети знакомятся с правилом умножения числа на произведение, которое выполняет роль теоретического обоснования. Рассмотрим пример умножения числа на произведение 3 (4 · 2), необходимо раскрыть три способа нахождения результата:
1) 3 · (4 · 2) = 3 · 8 = 24;
2) 3 · (4 · 2) = (3 · 4) · 2 = 24;
3) 3 · (4 · 2) = (3 · 2) · 4 = 24.
Для иллюстрации данного правила можно обратиться к подсчету кубиков в прямоугольном параллелепипеде размером 3 × 4 × 2 кубика. Каждому способу умножения числа на произведение соответствует определенный способ подсчета кубиков в параллелепипеде.
После этого можно переходить к развернутой записи умножения чисел, оканчивающихся нулями:
621 · 30 = 621 · (3 · 10) = 621 · 3 · 10 = 1863 · 10 = 18630.
Однако устно выполнить это умножение сложно, поэтому осуществляется переход к краткой записи, опирающейся на
| × | |
Аналогично выполняется умножение чисел, содержащих нули в каждом множителе:
| × | |
Таким образом, изучение каждого нового вычислительного приема опирается на уже ранее освоенные ребенком приемы.
По аналогичной схеме изучается деление чисел, оканчивающихся нулями, умножение и деление на двузначное и трехзначное число. Теоретическим обоснованием деления чисел, оканчивающихся нулями, служит правило деления числа на произведение.
Нахождение цифр частного при делении
многозначных чисел
Письменные вычисления, как правило, в преобладающем большинстве III – IV классов усваиваются учащимися удовлетворительно. Наиболее трудными оказываются действия над многозначными числами с нулями в компонентах и результатах действий, и поэтому наибольшее число ошибок встречается именно в этих действиях.
Причина их – недостаточное усвоение учащимися нумерации многозначных чисел. Для предупреждения таких ошибок учителя должны добиваться, чтобы перед переходом к действиям с многозначными числами учащиеся хорошо усвоили состав многозначных чисел, представление числа в единицах различных разрядов.
Наиболее трудным для учащихся начальной школы является
деление многозначных чисел на двузначное и трехзначное. Массовым видом ошибок учащихся при выполнении этого арифметического
| - | ||
- пропуск нуля в частном (409).
| ― | ||
| ― | ||
| ― | ||
- неверно подписано число 415, ошибка в подборе частного – цифра 5.
Причиной таких ошибок является не только недостаточное усвоение учащимися техники деления многозначных чисел, но и неумение определить наивысший разряд частного, первое неполное делимое. В первом случае, разделив 3 тысячи на 9 единиц, ученик получил только 49 единиц, хотя деление 3 тысяч даже на 10 дает 300 единиц, а если делить на 9, то результат будет еще больше. И во втором случае примерный подсчет деления 64 тысяч на 67 должен подсказать, что частное не может быть больше тысячи.
Итак, предварительная прикидка частного является очень важным практическим навыком самоконтроля, предупреждающим многие грубые ошибки при делении многозначных чисел.
Для предупреждения таких ошибок можно учить учащихся сразу определять, какой примерно наивысший разряд должны они получить в частном, исходя из наивысшего разряда делимого и делителя. Так, перед выполнением деления во втором примере ученик может определить, что частное не должно быть больше тысячи.
Навыки письменного деления чисел на двузначное число и особенно на трехзначное у учащихся, закончивших начальную школу, не всегда соответствуют требованиям. Об этом свидетельствует многих учителей, ведущих математику в IV классе, а также результаты проверочных работ.
Трудности в подборе цифр частного не только сказываются на времени, затрачиваемом на выполнение задания, но часто приводит к тому, что учащиеся теряют уверенность в своих силах и не могут закончить решение одного примера и приступить к решению следующего.
Однако, можно подготовить учащихся к решению примеров данного вида, если вести для этого специальную работу.
Нахождение верной цифры частного – составная часть алгоритма письменного деления многозначных чисел. Выполнение этой операции включает в себя:
1) нахождение пробной цифры частного,
2) проверка найденной пробной цифры.
Остановимся на рассмотрении первого из этих этапов.
При нахождении пробной цифры частного учащиеся должны уметь, во-первых, округлить делитель до одной значащей цифры и, во-вторых, разделить неполное делимое на полученное число, оканчивающееся нулями. В учебнике математике автора М.И. Моро неявно используется прием округления, однако обучение этому программой не предусмотрено. Кроме этого, специальное изучение показало, что большинство учащихся не пользуются приемом округления делителя и делимого.
Учащиеся быстрее находят цифру частного, если при нахождении пробной цифры они округляют делитель до ближайшего круглого числа, меньшего или большего его. Они могут выполнять округление на основании знания расположения чисел в натуральном ряду, правила образования числа. Поэтому, мы считаем нужным, при выполнении письменного деления округлять делитель до ближайшего круглого числа. Это способствует рационализации вычислений, так как учитель формирует у учащихся не только прочные, но и рациональные вычислительные навыки.
При изучении деления на трехзначное число полезно включать в устную работу с учащимися упражнения вида:
1. Округление до ближайшего круглого числа.
1) Сколько сотен, десятков, единиц в числе: 238, 368, 850?
2) Между какими ближайшими числами, оканчивающимися двумя нулями, находится число: 238, 368, 644, 850?
3) К какому из чисел:
- 100 или 200 ближе число 238;
- 300 или 400 ближе число 368;
- 600 или 700 ближе число 644;
- 300 или 400 ближе число 850?
4) Замени каждое из чисел: 238, 368, 644, 850 ближайшим числом, оканчивающимся двумя нулями.
2. На нахождение цифры частного.
Найди частное:
80 : 20 94 : 30 600 : 200 823 : 200
140 : 70 547 : 60 1 200 : 300 1 656 : 400
160 : 50 674 : 80 1 700 : 500 1 368 : 600
Устные упражнения приведенного вида помогут сформировать умение рационально находить цифры частного.
Прием подбора цифры частного знаком учащимся еще со 2го класса, когда они знакомятся с конкретным смыслом деления:
12 : 3 =?
Какое число нужно подобрать, чтобы при умножении на 3 получилось 12?
В 3 ем классе в теме «Внетабличное умножение и деление» учащиеся дважды встречаются с этим приемом: при подготовке к делению, вида
80 : 40 = - какое число надо умножить на 40, чтобы получилось 80?
и делении двузначного числа на двузначное вида 95 : 19 - можно делать прикидку частного путем округления делимого и делителя:
Так как 95 ≈ 100
19 ≈ 20, то пример 95 : 19 можно заменить примером
100 : 20=5, затем эту цифру проверить:
5 × 19=19 × 5=95.
Если в дальнейшем не упускать ни одной детали в кропотливой подготовительной работе к изучению деления многозначных чисел, можно предупредить многие ошибки учащихся.
Большинство учащихся, определяя цифры частного, пользуются либо табличным умножением, либо формально заучив алгоритм письменного деления, опираются на количество цифр делителя:
- так как в делителе 2 цифры, сначала делят 79 на 21.
Чаще всего учащиеся находят цифру частного перебором – исправление цифр в работах учащихся подтверждают этот характер ошибки.
Однако, в традиционном обучении дети имеют достаточные знания для ознакомления с приемом округления делимого и делителя и применения его в вычислениях.
Определяя необходимые для этого теоретические знания, учитель сможет подобрать соответствующие подготовительные упражнения.
| Так, выполняя деление вида 2208 | |
Определяем первое неполное делимое: так как делитель равен 48, то 22 сотни нельзя разделить на 48, чтобы получилась хотя бы одна сотня. Будем делить десятки: в числе 220 десятков. Этот шаг алгоритма выводит учителя на упражнения, в которых нужно определить общее количество единиц каждого разряда и отдельных единиц каждого разряда:
- прочитайте число 2208
- сколько в нем всего единиц? отдельных единиц?
- сколько в числе всего десятков? отдельных десятков?
- сколько в числе всего сотен? отдельных сотен?
Выполняем деление 220 : 48 – на этом этапе применим прием округления. Дети определяют:
220 это число близкое к 200, а
48 находится ближе к 50.
Здесь, как и в предыдущем задании при округлении обоих чисел удобно ориентироваться на натуральный ряд чисел. Эти знания учащиеся применяют с 1го класса. На уроке можно вспомнить их.
Между какими круглыми числами находятся числа:
228, 2208, 22080?
200 < 220 < 228 < 230 < 250
2000 < 2200 < 2208 < 2300 < 3000
22000 < 22080 < 22100.
Следующий вид задания, который представляет собой теоретическую основу подготовки учащихся – это деление круглого числа на круглое число. Предварительно можно выполнить задание –
Уменьшить в 10 раз, в 100 раз следующие числа:
220 2200
180 180.
Как это делать?
После этого – связанное с ним задание. Выполните деление:
220 : 20 2200 : 200
180 : 20 1800 : 200
Как это сделать?
Предложенные задания имеют в своей основе следующие знания нумерации: разрядный состав многозначного числа, поместное значение цифры в записи числа, умение находить место числа в числовом ряду, уменьшение числа в 10, 100, 1000 раз. Для выполнения последнего задания повторяется правило деления по частям – сначала делим на 10 (или 100), затем на однозначное число:
220 : 20 = 220 : (10 × 2) = 220 : 10 : 2 = 22 : 2 = 11.
Акцентрируя внимание на подготовительных заданиях, мы подчеркиваем еще раз то, что эту работу нужно вести еще задолго до обучения младших школьников письменному делению многозначных чисел на двузначное и трехзначное число. Еще при изучении нумерации в каждом классе можно выполнять приведенные выше задания. Тогда они станут не просто подготовительными упражнениями, в них заключается теоретическая основа вычислительного приема округления делимого и делителя. При систематической работе учителя над подготовкой к обучению деления многозначных чисел эти теоретические знания постепенно сформируются в вычислительный навык.
Этот навык можно развивать в следующих заданиях:
Не выполняя деления, сравни пары примеров
19488 : 48 = 22080 : 48 =
49488 : 48 = 52080 : 48 =
Чем они отличаются?
Чем отличаются результаты в каждой паре примеров?
После большой подготовительной работы рассуждения учащихся могут принять такой вид:
194 ≈ 200
48 ≈ 50
200 : 50 = 200 : (10 × 5) = 200 : 10 : 5 = 20 : 5 =4.
Выполняя действия, учащиеся устно выполняют округление, деление на круглое число, определяют пробную цифру в частном, проверяем ее.
В алгоритме письменного деления этот этап, на наш взгляд, самый трудный. Поэтому большое внимание мы уделяем подготовительной работе, делая вычисления осознанными, прочными. Учащиеся постепенно учатся округлять не только до круглых сотен.
В данном случае удобнее округлить делимое и делитель так, чтобы свести к табличному случаю при помощи следующих рассуждений:
534 ≈ 540
89 ≈ 90
540 : 90 = 540 : (10 × 9) = 540 : 10 : 9 = 54 : 9 = 6.
Ученики подыскивают такое число, чтобы деление можно было свести к табличному. То есть 534 удобно округлять не до 500, а до 540, чтобы затем разделить на 90.
На последующих уроках до того, как приступить к основной работе наиболее полезными являются группы примеров:
1) Найди пробную цифру частного, округляя делимое и делитель до ближайшего круглого числа:
67 : 31 396 : 124
168 : 53 2 315 : 431
145 : 69 4 253 : 682
294 : 87 2 038 : 893
2) Найдите частное:
56 : 14 288 : 72
92 : 23 415 : 83
72 ; 18 268 : 67
78 : 39 891 : 99
Характер приведенных заданий выявляет еще одну важную проблему к 4 классу: усложняется теория, арифметические выражения, достаточно сложна терминология, которой овладевают учащиеся.
Неумение четко и лаконично, правильным языком формулировать умозаключения свидетельствует о недостаточном математическом языке учащихся. Устный опрос учащихся показывает, что в большинстве случаев учащийся понимает смысл подбора тех чисел, над которыми производит действия, но не умеет правильно изложить свои соображения.
Для предупреждения таких ошибок опытные учителя проводят большую и настойчивую работу по развитию математического языка учащихся. Не ограничивая учащихся выбором одного из способов решения, опытные учителя систематически приучают учащихся искать наиболее рациональные способы решения задач.
Такая устойчивая, продуманная во всех деталях работа учителя над формированием навыков деления дает хорошие результаты.