Полупространства. евклидово пространство.

Полупространство— совокупность точек евклидова многомерного пространства, лежащих по одну сторону от некоторой плоскости, разделяющей это пространство. Различают открытое изамкнутое П. В первом случае П. это множество точек xi(i=1,…,n), координаты которых удовлетворяют неравенству Σaixi<d или неравенству Σaixi>d. Во втором случае это множество точек, удовлетворяющих неравенству Σaixi≥ d, или неравенству Σaixi≤ d ,то есть П., включающее разделяющую гиперплоскость. В обоих случаях принимается, что параметры a1,…,an не могут быть одновременно равны нулю.

Определение.Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Примером евклидова пространства служит пространство полупространства. евклидово пространство. - student2.ru , в котором скалярное произведение векторов полупространства. евклидово пространство. - student2.ru задаетсясоотношением: полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

19.n-мерные векторы и действия над ними, n-мерное линейное векторное пространствоR(n). Линейные операторы. Линейная комбинация векторов.

n-мерным вектор - любая упорядоченная совокупность n действительных чисел а1,а2..аn

полупространства. евклидово пространство. - student2.ru полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

полупространства. евклидово пространство. - student2.ru полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

n-мерное линейное векторное пространствоR(n):

Все n-мерные линейные пространства “устроены” одинаково - как пространство Rn векторов-столбцов из n действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству Rn .

Линейные пространства X и Y называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам x и x' из X соответствуют векторы y и y' из Y, то вектору x + x' соответствует вектор y + y' и при любом a вектору a x полупространства. евклидово пространство. - student2.ru X соответствует вектор a y полупространства. евклидово пространство. - student2.ru Y .

Изоморфизм n-мерных линейных пространств пространству Rn означает, что соотношения между элементами n-мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из Rn и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из Rnсправедливо для соответствующих элементов любогоn-мерного линейного пространства.

Например, доказано, что система векторов e1, e2, ..., en из Rn

полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

образует базис в Rn тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, со столбцами e1, e2, ..., en:

полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

Линейная комбинация векторов:

полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

20.Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и линейной независимости векто­ров.

полупространства. евклидово пространство. - student2.ru полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

Свойства линейной зависимости и линейной независимости векторов:

1. Если к линейно зависимой системе векторов полупространства. евклидово пространство. - student2.ru добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

2. Если из линейно независимой системы векторов полупространства. евклидово пространство. - student2.ru исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

3. Если в системе векторов полупространства. евклидово пространство. - student2.ru есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

4. Если система векторов полупространства. евклидово пространство. - student2.ru линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов полупространства. евклидово пространство. - student2.ru линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

21.Понятие базиса n - мерного векторного пространства. Разложение вектора про­странства R(n) по векторам базиса.

полупространства. евклидово пространство. - student2.ru полупространства. евклидово пространство. - student2.ru

Наши рекомендации