Как можно сформулировать задачу оптимального управления

При оптимизации систем управления следует различать два класса задач, решаемых последовательно: оптимизацию закона (программы) управления и оптимизацию алгоритма управления.

Необходимость решения первой задачи можно пояснить следующим примером.

Если спортсмен – бегун на дистанции будет развивать максимально доступную ему мощность в каждый момент времени, с тем чтобы добиваться максимально возможной скорости в каждый момент времени, то он рискует «выдохнуться» , т.е. преждевременно израсходовать свой ресурс энергии и прийти к финишу последним.

Чтобы решать задачу оптимального управления необходимо задать:

1. Математическое описание объекта и среды, связывающее значения всех координат исследуемого процесса, управляющих и возмущающих воздействий;

2. Ограничения физического характера на координаты и закон управления, выраженные математически;

3. Граничные условия, определяющие начальное и требуемое конечное состояние системы;

4. Целевую функцию.

В динамических задачах целевая функция представляет собой обычно функционал.

Функционал – это математическое понятие для обозначения переменной величины заданной на множестве функций, т.е. зависящей от выбора одной или нескольких функций.

Пример: длина дуги кривой, соединяющей две фиксированные точки, будет функционалом, т.к. ее величина зависит от выбора функции, график которой соединит эти точки.

Задача оптимального управления формулируется так:

найти такой закон изменения во времени управления и(t), при котором система ( при действующих ограничениях) перейдет из одного заданного состояния в другое оптимальным образом в том смысле, что функционал J(x,u,t), выражающий качество процесса, получит при найденном управлении наибольшее (или наименьшее) значение, (x(t) – функция состояния).

Экстремальные системы

К классу оптимальных устройств относят системы, предназначенные для регулирования объекта, в статической характеристике которого имеется экстремум. Таких объектов в природе много: двигатели внутреннего сгорания, двигатели самолетов и ракет, нагревательные печи и др. Например, в нагревательной печи при постоянном расходе горючего, регулирование температуры осуществляется изменением подачи воздуха, выполняющего функцию окислителя.

При заданном постоянном расходе горючего существует строго определенное количество воздуха , при котором достигается максимальная температура в нагревательной печи (рис.). Если по каким- либо причинам изменяется расход горючего, то изменится и положение максимума и величина максимальной температуры в печи. На рис.1.2 показано положение максимума температуры в зависимости от расхода горючего .

Системы, которые автоматически находят и удерживают регулируемый параметр на экстремальном уровне, получили название систем экстремального регулирования. В этих системах процесс регулирования реализуется в два этапа. На первом этапе осуществляется поиск экстремума регулируемой величины (рис.2) На рис.1 этот экстремум соответствует максимальной температуре нагревательной печи . Принимая найденное значение экстремума в качестве заданного управляющего воздействия, выполняют второй этап регулирования – стабилизацию регулируемой величины , аналогично тому, как это делается при обычном регулировании.

Поисковое устройство (рис.2) ПУ содержит генератор поисковых сигналов и выполняет ряд вычислительных и логических операций. При замкнутом ключе генератор поисковых сигналов через определенный интервал времени воздействует на исполнительный механизм ИМ. В соответствии с первым сигналом выходная величина принимает значение и запоминается в ПУ. После второго сигнала выходная величина принимает значение . Далее в ПУ эти сигналы сравниваются. Если окажется, что больше нуля, то для нахождения максимума следующим сигналом изменяют положение ИМ в том же направлении и получают значение . Далее следует операция сравнения и соответствующее движение ИМ. Эти действия продолжаются до тех пор, пока разность не изменит знак. Тогда да можно принять, что является максимумом регулируемой величины. Затем корректируется величина управляющего сигнала. Для коррекции в ПУ формируется сигнал и вычисляется корректирующий сигнал управления .