Динамические погонные характеристики линии (телеграфные уравнения)

Введение

Одним из возможных способов анализа электромагнитных явлений в каком-либо устройстве является обращение к его математической модели в виде электрической цепи. Напряжение и ток каждого сосредоточенного элемента цепи в общем случае являются вещественными функциями лишь одной независимой переменной – относительного времени t. Цепи с сосредоточенными элементами (модели Кирхгофа) успешно отражают электромагнитные процессы в системах, размеры которых l₁, l₂, l₃ пренебрежимо малы в сравнении с наименьшей значимой длиной волны:

(l₁, l₂, l₃) << l_min = v_ф/f_max. (1)

Здесь – фазовая скорость электромагнитной волны в безграничной среде с проницаемостями e_a и m_a вокруг исследуемой системы, а f_max – верхняя граница значимого частотного спектра воздействия. Как известно, математической основой анализа процессов в любой цепи с конечным числом сосредоточенных элементов является совокупность динамических характеристик всех элементов цепи и полная система её топологических уравнений, преобразуемая в систему обыкновенных дифференциальных уравнений состояния цепи. При этом выражения переменных состояния цепи находятся однозначно, если известны их начальные значения.

При теоретическом исследовании электромагнитных процессов в устройствах, для которых неравенства (1) не соблюдаются, применяют полевые модели (модели Максвелла), анализируемые методами теории электромагнитного поля (электродинамики).

Однако в ряде случаев все необходимые для практики сведения об электромагнитных свойствах исследуемых устройств можно получить и с помощью теории цепей, расширив соответствующим образом её элементную базу. Например, отрезки двухпроводных и коаксиальных линий, для которых выполняются соотношения:

(l₁, l₂) << l_min = v_ф/f_max

при l₃ > l_max или l₃ @ l_max ,

(где , а f_min - низшая граница значимого частотного спектра воздействия) в теории электрических цепей удовлетворительно моделируют одномерным распределённым четырёхполюсным элементом – отрезком двухпроводной линии передачи (модель Кирхгофа-Томсона).

В дальнейшем ограничимся анализом процессов в цепях, содержащих отрезки только инвариантных во времени однородных линий. Последние служат моделями линий передач, у которых в продольном направлении неизменны и не зависят от времени конфигурация и значения электромагнитных параметров проводников и разделяющих их диэлектриков. В противном случае для моделирования используются отрезки неоднородных линий. На схемах электрических цепей отрезок однородной линии передачи изображают двумя параллельными отрезками прямых с обязательной фиксацией условно положительных направлений напряжения и тока его произвольного сечения (Рис. 1). Электрические цепи, содержащие хотя бы один распределённый элемент – отрезок линии – называют цепями с распределёнными элементами.

Комплексные характеристики полубесконечного отрезка однородной линии

Волны напряжения и тока

Перейдём к мгновенным значениям напряжения u(x¢, t) и тока i(x¢, t) в произвольном сечении отрезка с координатой x¢. Полагая в выражении (11) в соответствии, например, с формулами (3), получаем

.

Отсюда видно, что при фиксированном значении координаты x¢ напряжение u(x¢, t) этого сечения является гармонической функцией времени с частотой w и постоянной амплитудой . Если же зафиксировать момент времени t и рассматривать изменение напряжения вдоль полубесконечного отрезка, то получим осциллирующую знакопеременную функцию амплитуда которой убывает по экспоненте с ростом x¢, то есть по мере удаления от начала отрезка линии.

С течением времени распределение напряжения перемещается вдоль отрезка линии, образуя волну напряжения. Для определённости, за скорость распространения волны примем её так называемую фазовую скорость v_ф, под которой понимают скорость перемещения её сечения в выбранной неподвижной системе координат, фаза колебания в котором остаётся неизменной. Отсюда видно, что с течением времени t значение фазы волны остаётся неизменным, если значение координаты её сечения x¢ соответствующим образом возрастает. Таким образом, волна напряжения перемещается (бежит) от начала отрезка линии. Из условия постоянства значения фазы бегущей волны или

следует, что волна напряжения перемещается вдоль отрезка линии с фазовой скоростью

Рис. 7

На Рис. 7 изображены нормированные на амплитуду U_m волны напряжения для двух следующим друг за другом моментов времени t₁и t₂, причём 0 < t₂ – t₁ < T/2.

Аналогично можно рассмотреть изменения тока вдоль полубесконечного отрезка однородной линии и получить выражение

которое описывает волну тока, бегущую от начала отрезка с тем же значением фазовой скорости v_ф и так же затухающую в направлении своего распространения.

Из выражений волн напряжения и тока следует, что значение коэффициента затухания , входящего в показатель экспоненты, характеризует убывание амплитуд волн при их распространении вдоль отрезка линии. Фазы напряжения и тока изменяются вдоль отрезка линии по линейному закону. Коэффициент фазы b определяет скорость этих изменений. Разность фаз напряжения и тока в любом сечении отрезка равен аргументу характеристического сопротивления линии

.

Коэффициент затухания a выражается в неперах или децибелах на единицу длины, а коэффициент фазы b – в радианах на единицу длины.

Убывание амплитуд волн напряжения и тока в направлении их перемещения обусловливается необратимыми преобразованиями энергии вдоль отрезка линии, а изменение их фаз – конечными значениями фазовых скоростей распространения этих волн.

Введение

Одним из возможных способов анализа электромагнитных явлений в каком-либо устройстве является обращение к его математической модели в виде электрической цепи. Напряжение и ток каждого сосредоточенного элемента цепи в общем случае являются вещественными функциями лишь одной независимой переменной – относительного времени t. Цепи с сосредоточенными элементами (модели Кирхгофа) успешно отражают электромагнитные процессы в системах, размеры которых l₁, l₂, l₃ пренебрежимо малы в сравнении с наименьшей значимой длиной волны:

(l₁, l₂, l₃) << l_min = v_ф/f_max. (1)

Здесь – фазовая скорость электромагнитной волны в безграничной среде с проницаемостями e_a и m_a вокруг исследуемой системы, а f_max – верхняя граница значимого частотного спектра воздействия. Как известно, математической основой анализа процессов в любой цепи с конечным числом сосредоточенных элементов является совокупность динамических характеристик всех элементов цепи и полная система её топологических уравнений, преобразуемая в систему обыкновенных дифференциальных уравнений состояния цепи. При этом выражения переменных состояния цепи находятся однозначно, если известны их начальные значения.

При теоретическом исследовании электромагнитных процессов в устройствах, для которых неравенства (1) не соблюдаются, применяют полевые модели (модели Максвелла), анализируемые методами теории электромагнитного поля (электродинамики).

Однако в ряде случаев все необходимые для практики сведения об электромагнитных свойствах исследуемых устройств можно получить и с помощью теории цепей, расширив соответствующим образом её элементную базу. Например, отрезки двухпроводных и коаксиальных линий, для которых выполняются соотношения:

(l₁, l₂) << l_min = v_ф/f_max

при l₃ > l_max или l₃ @ l_max ,

(где , а f_min - низшая граница значимого частотного спектра воздействия) в теории электрических цепей удовлетворительно моделируют одномерным распределённым четырёхполюсным элементом – отрезком двухпроводной линии передачи (модель Кирхгофа-Томсона).

В дальнейшем ограничимся анализом процессов в цепях, содержащих отрезки только инвариантных во времени однородных линий. Последние служат моделями линий передач, у которых в продольном направлении неизменны и не зависят от времени конфигурация и значения электромагнитных параметров проводников и разделяющих их диэлектриков. В противном случае для моделирования используются отрезки неоднородных линий. На схемах электрических цепей отрезок однородной линии передачи изображают двумя параллельными отрезками прямых с обязательной фиксацией условно положительных направлений напряжения и тока его произвольного сечения (Рис. 1). Электрические цепи, содержащие хотя бы один распределённый элемент – отрезок линии – называют цепями с распределёнными элементами.

Динамические погонные характеристики линии (телеграфные уравнения)

Рис. 1

Отрезок однородной линии, как и всякий сосредоточенный элемент электрической цепи, определяется своими динамическими характеристиками, под которыми здесь понимают соотношения, связывающие напряжение и ток любого сечения отрезка в любой момент времени.

Выберем поэтому сначала координатную ось x¢, направив её по положительному направлению потока мощности, и отметим на ней произвольно начало отсчёта координаты сечения отрезка линии (Рис. 1).

Столь же произвольно зададимся началом отсчёта относительного времени t. И, наконец, обозначим для краткости через u = u(x¢, t) и i = i(x¢, t) мгновенные значения напряжения и тока в сечении линии с координатой x¢ в момент времени t.

Безупречный вывод динамических характеристик однородной линии возможен лишь на основе теории Максвелла [*]. Поэтому здесь приведём их без вывода и определим однородную линию системой двух дуальных линейных уравнений в частных производных первого порядка:

(2)

Здесь R₀, L₀, G₀ и C₀ – независимые, так называемые первичные или погонные, то есть приходящиеся на единицу длины, параметры линии. Приведённая система однородных линейных уравнений, представляющая динамические погонные характеристики однородной линии, впервые была получена и исследована при теоретическом изучении электромагнитных явлений в линиях дальней телеграфной связи. Поэтому её традиционно называют системой телеграфных уравнений. Следует отметить, однако, что результаты анализа этих уравнений с помощью известной системы аналогий можно с успехом перенести и на другие виды цепей.

Умножая первое уравнение системы на i, второе – на u и складывая, имеем

Проинтегрируем последнее равенство по x¢ в пределах от x¢₁ до x¢₂:

Величина p(x¢, t) = u×i определяет мгновенную мощность как скорость переноса энергии в положительном направлении оси x¢ через сечение линии с координатой x¢ в момент времени t.

Последнее равенство имеет простой физический смысл: сумма скоростей необратимого преобразования энергии и изменения электрической и магнитной энергии участка линии (x¢₁, x¢₂) в момент времени t равна разности мгновенных значений мощности в начале и в конце рассматриваемого участка в тот же момент времени. Оно представляет собой частный случай известной в электродинамике теоремы Пойнтинга: поток мощности выражается здесь произведением напряжения на ток.

Основная задача анализа процессов в однородной линии или её отрезке заключается в том, чтобы путём решения системы (2) в области определения x¢ найти распределения напряжения и тока вдоль линии или её отрезка в любой момент времени t ³ 0. Задача, однако, состоит не в том, чтобы определить бесконечное множество различных выражений мгновенных значений напряжения u = u(x¢, t) и тока i = i(x¢, t), удовлетворяющих системе телеграфных уравнений, а в том, чтобы найти такие функции, которые описывают напряжение и ток отрезка конкретной линии – распределённого компонента заданной цепи. А для этого надо поставить ряд дополнительных ограничений, выражаемых начальными и граничными (краевыми) условиями.

Начальные условия описывают распределение напряжения и тока вдоль линии или её отрезка накануне коммутации (t = 0-) и играют в данном случае такую же роль, что и начальные условия в цепях с сосредоточенными элементами, с той лишь разницей, что u(x¢, t) и i(x¢, t) зависят, вообще говоря, от некоторых функций u(x¢, 0-) и i(x¢, 0-), тогда как u(t) и i(t) любого элемента цепи с сосредоточенными элементами зависят от определённого числа начальных значений токов катушек, напряжений конденсаторов и задающих напряжений и токов.

Иной характер имеют граничные (краевые) условия. Они устанавливают функциональную связь между напряжением и током либо их выражения или значения в начале и в конце отрезка линии в любой момент времени t ³ 0. Граничные условия тесно связаны с доказательством теоремы существования и единственности решения телеграфных уравнений.

В результате достаточно длительного воздействия источников постоянного или периодически изменяющегося напряжения или тока отрезок линии придёт к установившемуся режиму, в котором напряжение и ток его любого сечения либо неизменны во времени (стационарное состояние), либо изменяются периодически. Изменение граничных условий отрезка линии вызовет изменение установившихся распределений напряжения и тока. Однако переход к новому установившемуся режиму, характеризуемому функциями u_пр(x¢, t) и i_пр(x¢, t), произойдёт не сразу. В отрезке линии возникнут свободные колебания напряжения и тока, которые описываются функциями u_св(x¢, t) и i_св(x¢, t). Как и в теории цепей с сосредоточенными элементами, будем считать, что во время переходного процесса напряжение и ток любого сечения отрезка линии получается сложением установившихся и свободных колебаний

, .

Функции принуждённых составляющих u_пр(x¢, t) и i_пр(x¢, t) выберем так, чтобы они удовлетворяли системе телеграфных уравнений и заданным граничным условиям. Тогда вторые составляющие – функции u_св(x¢, t) и i_св(x¢, t) – должны также удовлетворять телеграфным уравнениям и граничным условиям отрезка линии в цепи, “освобождённой” от активных элементов. Постоянные интегрирования могут быть вычислены из начальных условий после суммирования обеих составляющих напряжения и тока.

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений, их аналитическое решение для произвольных граничных условий отсутствует.

В этой главе исследуются лишь установившиеся процессы в отрезках однородной линии. Поэтому в дальнейшем для упрощения записи индекс “пр” в обозначениях мгновенных, амплитудных и действующих значений напряжения и тока будет опущен.

Задача существенно облегчается при анализе гармонического процесса в отрезке линии, поскольку в этом случае известен закон изменения напряжения и тока во времени в произвольном сечении отрезка и остаётся лишь найти распределение их амплитуд и начальных фаз вдоль отрезка линии.