Предел функции нескольких переменных

Непрерывность

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может , самой точки .

Число A называется пределом функции в точке , если для любого числа существует число такое, что для всех точек , отличных от точки и удовлетворяющих условию , верно неравенство . Обозначения: .

Предполагается, что точка M может стремиться к точке по любому , по любому направлению, и все соответствующие предельные значения существуют и равны числу A.

1. Функция называется непрерывной в точке , если . 2. Функция называется непрерывной в точке , если называется непрерывной в точке , если для всякого существует такое, что для всех точек , таких, что , выполняется неравенство . 3. Обозначая приращения независимых переменных x и y при переходе от точки к точке , получим, что равенство будет равносильно равенству , которое означает, что бесконечно малому расстоянию между точками соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке области E, то она называется непрерывной в областиE. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции могут быть изолированными и могут заполнять целые линии.

Частные производные и

Полный дифференциал функций нескольких переменных

Частной производной функции по переменной xв точке называется предел (если он существует) отношения соответствующего частного приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной , когда стремится к нулю. Обозначение: Обозначается частная производная любым из символов .

Таким образом, по определению

.

Аналогично определяется частная производная функции по переменной y:

.

Если − функция n независимых переменных, то

.

? ? ?

Заметив, что вычисляется при постоянном значении y, а − при неизменном значении переменой x, определения частных производных можно сформулировать так:

частной производной по переменной xфункции называется обычная производная этой функции , вычисленная в предположении, что y− постоянная; частной производной по переменной yфункции называется обычная производная этой функции , вычисленная в предположении, что x− постоянная.

Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, доказанными для функции одной переменной.

Замечание. Отметим одну особенность обозначения .

Надо помнить, что это есть цельный символ , а никак не дробь. Чем и отличается от обозначения для производной функции одного аргумента .

Действительно, и в самом деле есть самая настоящая дробь. Нелишне заметить, что (в отличие ) символы сами по себе не имеют смысла.

! ! !