Табличный метод расчета параметров сетевого графика
Пример 5. Определить временные параметры сетевого графика на рисунке 14, пользуясь табличным методом.
Решение: все вычисления будем заносить в таблицу 3.
Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 1, затем с номера 2 и т.д.
В первой графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа. Так, для работы (5,10) в графу 1 поставим число 2, т.к. на номер 5 оканчиваются 2 работы: (1,5) и (3,5).
Таблица 3 – Табличный метод расчета сетевого графика
| КПР | Код Работы | Продолжительность работы | Ранние сроки | Поздние сроки | Резервы времени | |||
| (i,j) | t(i,j) | tрн(i,j) | tро(i,j) | tпн(i,j) | tпо(i,j) | Rп | Rс | |
| 5=3+4 | 6=7-3 | |||||||
| (1,2) | ||||||||
| (1,3) | ||||||||
| (1,5) | ||||||||
| (2,4) | ||||||||
| (2,6) | ||||||||
| (3,4) | ||||||||
| (3,5) | ||||||||
| (3,8) | ||||||||
| (3,9) | ||||||||
| (4,7) | ||||||||
| (5,10) | ||||||||
| (6,11) | ||||||||
| (7,9) | ||||||||
| Продолжение таблицы 3 | ||||||||
| (7,11) | ||||||||
| (8,9) | ||||||||
| (8,10) | ||||||||
| (8,11) | ||||||||
| (9,11) | ||||||||
| (10,11) |
Далее заполняем графы 4 и 5. Для работ, имеющих цифру 0 в графе 1, в графу 4 также заносятся нули, а их значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4 (по формуле (2.4)). В нашем случае для работ (1,2), (1,3), (1,5) в графе 4 ставим 0, а в графе 5 - 0+5=5, 0+7=7, 0+4=4. Для заполнения следующих строк графы 4 , т.е. строк начиная с номера 2, просматриваются заполненные строки графы 5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в графу 4 обрабатываемых строк. В данном случае такая работа одна - (1,2). Цифру 5 из графы 5 переносим в графу 4 для всех работ, начиная с номера 2, т.е. в две последующие строки с номерами (2,4) и (2,6). Для каждой из этих работ путем суммирования значений граф 3 и 4 сформируем значение графы 5: tр.о.(2,4)=0+5=5, tр.о.(2,6)=8+5=13. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы.
Графы 6 и 7 заполняются “обратным ходом”, т.е. “снизу вверх”. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из графы 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в графу 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (т.к. tр(i)= tп(i)). В нашем случае t(11)=27.Затем для этих строчек находится содержание графы 6 как разности граф 7 и 3 по формуле (2.7). Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 10. Для определения графы 7 этих строк (работы (8,10) и (5,10)) просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 10. В графу 6 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в графу 7 по обрабатываемым строчкам. В нашем случае она одна - (10,11), поэтому заносим в строчки (8,10) и (5,10) графы 7 цифру 20. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строчки по графам 6 и 7.
Содержимое графы 8 равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5 (формула (2.8).
Содержимое графы 9 вычисляется по формуле (2.9):
Rс(3,9)= tр.н(9,11)- tр.о.(3,9)=19-18=1.
Учитывая, что резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем критический путь (1,3,4,7,11).
2.6 Сетевое планирование в условиях неопределенности
Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно, и поэтому вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки - минимальная и максимальная. Минимальная (оптимистическая) оценка tmin(i,j)характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) tmax(i,j) -при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение tож(i,j)оценивается по формуле
tож(i,j)=(3 tmin(i,j)+2 tmax(i,j))/5(2.10)
Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии:
S2(i,j)=0,04(tmax(i,j)- tmin(i,j))2(2.11)
На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики сетевой модели, однако они будут иметь иную природу, т.е. выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом - лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.
Кроме обычных характеристик, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:
1) определить вероятность того, что продолжительность критического пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т;
2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.
Первая задача решается на основе интеграла вероятности Лапласа F(Z) путем использования формулы:
p(tкр<T)=0,5+0,5F(Z),гдеZ=(T-tкр)/Sкр,(2.12)
где Z - нормированное отклонение случайной величины;
Sкр - среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути. Соответствие между Z и симметричным интервалом вероятности приведено в таблице 4.
Таблица 4 - Таблица стандартного
нормального распределения
| Z | F(Z) | Z | F(Z) | Z | F(Z) |
| 0.0000 | 1.0 | 0.6827 | 2.0 | 0.9643 | |
| 0.1 | 0.0797 | 1.1 | 0.7287 | 2.1 | 0.9722 |
| 0.2 | 0.1585 | 1.2 | 0.7699 | 2.2 | 0.9786 |
| 0.3 | 0.2358 | 1.3 | 0.8064 | 2.3 | 0.9836 |
| 0.4 | 0.3108 | 1.4 | 0.8385 | 2.4 | 0.9876 |
| 0.5 | 0.3829 | 1.5 | 0.8664 | 2.5 | 0.9907 |
| 0.6 | 0.4515 | 1.6 | 0.8904 | 2.6 | 0.9931 |
| 0.7 | 0.5161 | 1.7 | 0.9104 | 2.7 | 0.9949 |
| 0.8 | 0.5763 | 1.8 | 0.9281 | 2.8 | 0.9963 |
| 0.9 | 0.6319 | 1.9 | 0.9545 | 2.9 | 0.9973 |
При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0.8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ.
Для решения второй задачи используется формула
T=tож(Lкр)+Z*Sкр.(2.13)
Пример 6. Структура сетевой модели и оценки продолжительности работ (в сутках) заданы в таблице 5. Требуется:
1) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней;
2) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 95%.
Таблица 5 – Сетевая модель
| Работа | Продолжительность | Ожидаемая продолжит. | Дисперсия | |
| (i,j) | tmin(i,j) | tmax(i,j) | tож(i,j) | S2(i,j) |
| (1,2) | 7,5 | 0,25 | ||
| (2,3) | 6,5 | 0,25 | ||
| (2,4) | 1,00 | |||
| (2,5) | 5,5 | 0,25 | ||
| (3,7) | 3,5 | 0,25 | ||
| (4,5) | 7,5 | 0,25 | ||
| (4,6) | 5,5 | 0,25 | ||
| (4,9) | 1,00 | |||
| (5,8) | 4,5 | 0,25 | ||
| (5,10) | 1,00 | |||
| (6,9) | ||||
| (6,11) | 1,00 | |||
| (7,10) | 3,5 | 0,25 | ||
| (8,10) | 1,00 | |||
| (9,10) | 1,00 | |||
| (10,11) | 10,5 | 0,25 |
Три первые графы таблицы содержат исходные данные, а две последние - результаты расчетов по формулам. Так, например, tож(1,2)=(3*5+2*7,5)/5=6, tож(2,3)=(3*4+2*6,5)/5=5, S2(1,2)=0,04(7,5-5)2=0,25, S2(2,3)=0,04(6,5- 4)2=0,25.
Используя любой из приведенных выше методов, можно найти все характеристики сетевой модели.
Критическим является путь (1,2,4,5,10,11), а его продолжительность
tож = 33 дня.
Дисперсия критического пути составляет:
S2(Lкр)=S2(1,2)+S2(2,4)+S2(4,5)+S2(5,10)+S2(10,11)= =0,25+1,00+0,25+1,00+0,25=2,75.
Для использования формулы (2.12) необходимо иметь среднее квадратичное отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т.е. S(Lкр)=1,658.
Тогда имеем:
p(tкр<35)=0,5+0,5F((35-33)/1,66)=0,5+0,5F(1,2)=0,5+0,5*0,7699=0,90,
p(tкр<30)=0,5+0,5F((30-33)/1,66)=0,5-0,5F(1,8)=0,5-0,5*0,9281=0,035.
Вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет примерно 90,4%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней - всего 3,5%.
Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего найдем значение аргумента Z, которое соответствует заданной вероятности 95%. В графе F(Z) наиболее близкое значение (0,9545*100%) соответствует Z=1,9.
Тогда по формуле (2.13) T=tож(Lкр)+Z*Sкр = 33+19*1,658=36 дн.
Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности 95% составляет всего 36 дней.