Вторая основная задача динамики материальной точки

(обратная первой)

Вторая задача динамики точки заключается в том, что за­дана сила, действующая на точку, и асса точки, а требуется определить закон (уравнения) движения точки.

Дано: т, F.

Определить x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t).

Эта задача решается интегрированием дифферен-циаль­ных уравнений движения точки:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

После интегрирования уравнений возникают произ-вольные постоянные. Эти произвольные постоянные определяются по начальным условиям движения. Начальные условия берутся из текста задачи. С точки зрения математики начальные условия движения точки за­ключаются в том, что при заданном значении аргумента (t = t0)задаются значения функций x(t0) = x0, y(t0)= y0, z(t0) = z0 и их первых производных Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

С точки зрения кинематики начальные условия движения точки заключаются в том, что при заданном значении времени (t = t0)задается по­ложение точки

x(t0) = x0; y(t0)= y0; z(t0) = z0

и скорость точки через ее проекции на оси координат:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

В самом общем случае правые части дифференциаль­ных уравнений зависят от времени t, положе­ния точки (x, у, z) и скорости Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru точки. Такие дифференциаль-ные уравнения интегрируются до конца только в частных случаях. Например, когда правая часть является по­стоянной величиной, либо простейшей функцией только времени, либо только расстояния, проходимого точкой, либо только ско­рости точки и др.

При решении второй основной задачи динамики материальной точки необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

1) изобразить материальную точку в текущий момент вре­мени.

2) изобразить активные силы, действующие на точку.

3) освободить точку от связей, заменяя действие связей реакциями.

4) выбирать систему координат. Начало координат системы следует помещать в начальном положении точки и оси коорди­нат направлять так, чтобы координата точки в текущий момент и проекции скорости ее на эти оси были положительными (х>0, у>0, z>0, vх >0, vy >0, vz >0).

Если точка движется по окружности, то рекомендует-ся вы­бирать оси естественной системы координат, сов-местив начало координат с текущим положением точки, и направить каса­тельную к траектории точки так, чтобы для текущего положе­ния точки естественная координата и проекция скорости точки на касательную были поло-жительными (S>0, vτ>0). Главную нормаль нужно направить в сторону вогнутости траектории.

5) cоставить дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат. При этом следует помнить, что в полученных дифференциальных уравне-ниях проекции всех сил необходимо выразить через те переменные (t, x, у, Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru ),от которых эти силы зависят.

6) проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения движения точки. Способ интегрирования уравнений зависит от их вида.

Если на точку действуют, кроме постоянных сил, силы, за­висящие только от одной переменной, то чаще всего такие урав­нения решаются путем разделения переменных Иногда систему трех дифференциальных уравнений второго порядка:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

выгодно заменить эквивалентной системой, состоящей из шести уравнений, но первого порядка:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

В том случае, когда по условию задачи нужно найти ско­рость точки как функцию текущих координат ее и сила зави­сит только от этих координат или скорости точки, то из диф­ференциальных уравнений переменную t исключаем с помощью подстановок:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

7) составить начальные условия движения по тексту задачи.

8) по начальным условиям определить произвольные посто­янные интегрирования.

9) найденные произвольные постоянные подставляем в ре­зультат интегрирования дифференциальных уравне-ний движения точки. Это и будут уравнения движения точки (закондви­жения).

Пример 1. Сила функция постоянная. На шероховатой наклонной плоскости (рис. 368) находится груз А веса Р1, связанный с грузом В веса Р, нитью, перекинутой через блок С. Определить закон движения грузов если вначале грузы находились в покое, коэффициент трения груза А о наклонную пло­скость равен f, угол наклона плоскости к горизонту ра­вен α

Решение. Грузы А и В можно считать материальными точ­ками, так как эти грузы движутся поступательно. При решении задачи рассматриваем движение

каждого груза в отдельности.

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

Рис. 368. Рис. 369

а) Движение груза

1. Изображаем груз А в текущий момент времени (рис. 369).

2. Изображаем активные силы: Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru - вес груза, Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru натяже-ние нити.

3. Освобождаем груз А от связей, заменяя действие связей реакциями. Связью является наклонная плоскость. Реакцию шероховатой опорной поверхности раскладываем на нормальную составляющую Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru и касательную составляющую Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru ( Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru - сила тре­ния скольжения).

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 369.

5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки.

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

Х = ∑Хi; Х = Р1x + T1x + Fx + Nx; X = P1sin α + T1 - F;

Y = ∑Yi; Y = P1y+ T1y + Fy + Ny; Y = N – P1cos α;

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru , так как направление ускорения точки А совпадает с положительным направлением оси Oх. После подста­новки найденных величин в дифференциальные уравнения дви­жения точки А, получим:

m1a1 = P1sin α + T1 - F; 0 = N – P1cos α; N = P1cos α;

F=fN; F = fP1 cos α;

m1a1 = P1(sin a - f cos a) + T1. (a)

б) Движение грузаВ:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru 1. Изображаем груз В в текущий момент времени (рис. 370).

2. Изображаем активную силуВторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru- вес грузаВ и Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

натяжение нити.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 370. Достаточно выбрать одну ось Ох, так как тело движется по вертикали.

4. Составляем дифференциальное уравнение дви­жения:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru Х = ∑Хi; Х = Р2x+ Т2x = Р2 - Т2;

Рис. 370 Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru m2a2 = P2 – T2 . (б)

Из уравнений (а) и (б) находим ускорение грузов, имея в виду, что а1= а2 = a, Т1= Т2 = Т;

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

Следовательно, точки А и В движутся прямолинейно и равноускоренно:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru ,

но v0 = 0, так как грузы движутся из состояния покоя; начало координат выбираем так, что x0 = 0. Следовательно,

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

Вывод. В том случае, когда на точку, участвующую в пря­молинейном движении, действуют постоянные силы, то эта точка движется равнопеременно. Ускорение равнопере-менного движения находится из дифференциальных уравнений движения. Для нахождения закона движения точки нужно найденное уско­рение подставить в кинематическую формулу пути равнопере­менного прямолинейного движения.

Пример 2. Сила - функция времени. Тело М начинает скользить по гладкой наклон­ной плоскости без начальной скорости в среде с сопротивлени­ем, равным 0,5Ре-kt (k – неко-торое положительное число, Р - вес тела М). Определить уравнение движения тела, если угол на­клона плоскости к горизонту α = 30° (рис. 371).

Решение. 1. Изображаем тело М в текущий момент времени (рис. 371); тело можно считать за точку, так как тело движется поступательно.

2. Изображаем активную силу Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru - вес тела и силу Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru - со­противление среды.

3. Освобождаем тело М от связи, заменяя действие связи нормальной реакцией Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru (наклонная плоскость гладкая).

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

Рис. 371. Рис. 372

4. Выбираем систему координат, как указано на рис.372.

5. Составляем дифференциальное уравнение движения:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru Х = ∑Хi; Х = Рx+ Rx + Nx = Р sin α - R;

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru ;

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

6. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение движения точки Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru . Это уравнение с разделяю­щимися переменными: Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

После интегрирования получим:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru . (a)

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

Откуда:

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru . (б)

7. Составляем начальные условия движения (по тексту за­дачи) для определения произвольных постоянных интегриро-ва­ния С1 и С2. При t = 0 х(0) = 0, Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru . Так как начало координат помещено в начальном положении тела М, то

x(0) = 0.

8. Начальные условия движения подставляем в уравнения (а) и (б):

1) Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru следовательно, Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru ;

2) Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru следовательно, Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru

9. Найденные С1 и С2 подставляем в результат интегрирования дифференциального уравнения движения точки, уравнение (б):

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru .

Задачи

Определение параметров прямолинейного движения по заданным силам

Тело движется вниз по гладкой плоскости, которая наклонена под углом α = 25° к горизонту. Определить ускорение тела. (4.15)

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru 3.1.17. Материальная точка (рис. 373) массой т = 5 кг движется под действием сил F1 = 3 Н и F2 = 10 Н. Определить проекцию ускорения

Рис. 373 точки на ось Ох. (1,13)

3.1.18. Тело движется вниз по наклонной шерохова-той плоскости, кото­рая образует с горизонтом угол 40°. Определить ускорение тела, если коэффициент трения скольжения f = 0,3. (4,05)

3.1.19. Материальная точка массой m = 9 кг движется в пространстве под действием силы Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru . Определить модуль ускорения точ­ки. (1,17)

3.1.20. Моторная лодка массой т = 200 кг после остановки мотора дви­жется прямолинейно, преодолевая сопротивление воды. Сила сопро­тивления R = 4v2. Определить ускорение лодки, когда ее скорость v = 5 м/с. (-0,5)

3.1.21. Тело массой т = 12 кг движется из состояния покоя по горизон­тальной прямой под действием силы F = 0,6t, которая направлена по той же прямой. Определить путь, пройденный телом по истечении 10 с после начала движения. (8,33)

3.1.22. Материальная точка массой т = 0,2 кг движется вдоль осиОхпод действием силы Fx = - 0,4 t. Определить скорость точки в момент времени t = 2 с, если ее начальная скорость vx0 = 6 м/с. (2)

3.1.23. Определить путь, пройденный материальной точкой массой т пооси Ох за время t=1 с, если она движется под действием силы Fx = 12 mt2. В момент времени t0 = 0 координата x0 = 3 м, скорость v0= 6 м/с. (10)

3.1.24. Тело массой 1кг падает по вертикали, сила сопротивления воз­духа R = 0,03v. Определить макси-мальную скорость падения тела. (327)

3.1.25. Материальная точка массой т = 2 кг движется по горизонталь­ной оси Ох под действием силы Fx = 5 cos 0,5 t. Определить скорость точки в момент времени t = 4 с, если при t0 = 0 скорость v0 = 0. (4,55)

3.1.26.Точка массой т движется по оси Ох под действием силы Fx = 6 т sin 2t. В начальный момент времени скорость точки v0x= 3 м/с. Определить в уравнении ско­рости постоянную интегрирования. (6)

3.1.27. Материальная точка массой т = 7 кг из состояния покоя дви­жется по оси Ох под действием силы Fx= 7еt. Определить скорость точки в момент времени t = 2 с. (6,39)

3.1.28. На материальную точку массой т = 20 кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R = 0,2v2. За сколько секунд скорость точки уменьшится с 10 до 5 м/с? (10)

3.1.29. На материальную точку массой т = 250кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R = 5 v2.Определить скорость точки в момент времени t = 6 с, если t = 0 ее скорость v0 = 20 м/с. (5,88)

3.1.30. Материальная точка массой т = 4 кг движется по горизонталь­ной прямой. Через сколько секунд скорость точки уменьшится в 10 раз, если сила сопротивления движению R = 0,8v? (11,5)

Определение параметров криволинейного движения по заданным силам

3.1.31.Материальная точка массой т = 4 кг движется по криволинейной траектории под действием силы Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru . Определить модуль ускорения точки в момент времени t = 10 с. (1,25)

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru 3.1.32.Материальная точка (рис. 369) массой т = 2 кг движется в плоскостиОхупод дейст-вием силы, проекции которой

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru и Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru . Определить модуль ускорения точки в

Рис. 374момент времени t = 1 с. (2,69)

3.1.33. Материальная точка массой т = 18 кг движется в горизонтальной плоскости по криволинейной траектории под действием силы F = 25 Н. Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки v = 4 м/с, а векторы скорости и силы образуют между собой угол 55°. (14,1)

3.1.34. Тело движется по горизонтальной поверх­ности и в точке А отрывается от нее. Опреде­лить минимальную скорость тела в момент от­рыва, если радиус R = 6 м. (7,67)

3.1.35. На горизонтальном диске на расстоянии 2 м от его вертикальной оси вращения находится тело. Опреде-лить угловую скорость равно­мерного вращения диска, превышение которой приведет к скольже­нию тела по диску, если коэффициент трения скольжения f = 0,3. (1,21)

3.1.36. Космическая станция движется по круговой орбите радиуса R = 7·106 м вокруг Земли. Определить скорость станции в км/с, если масса Земли равна 5,976·1024 кг, гравитационная постоянная равна 6,672·10-11 Н·м/кг2. (7,55)

3.1.37. Материальная точка массой т = 11 кг движет-ся по криволиней­ной траектории под действием равно-действующей силы F = 20 Н. Определить скорость точки в момент времени, когда радиус кривиз­ны траектории ρ = 15 м и угол между силой и вектором скорости равен 35°. (3,96)

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru 3.1.38. Материальная точка массой т = 16 кг (рис.375) движется в плоскости по криволинейной траектории под действием равнодействующей силы F = 0,3t. Определить скоростьточки в момент времени t = 20 с, когда радиус кривизны траектории ρ = 12 м и угол между векторами силы и скорости α = 50°.(1,86)

3.1.39. Определить скорость точки М конического маятника, который при длине нити ОМ = 1 м описывает конус с углом при вершине α = 45°. (2,63)

Вторая основная задача динамики материальной точки - student2.ru Рис. 375 3.1.40. Материальная точка М (рис. 376) массой т = 1,6 кг движется из состояния покоя в горизонталь­ной плоскости по окружности радиуса R = 12 м под действием силы F = 0,2t. Опреде­лить скорость точки в момент времени Рис. 376 t = 18 с, если сила образует постоянный

угол 25° с вектором скорости. (3,38)

Наши рекомендации