Как движется тело брошенное вверх с поверхности земли?

Тело брошено вверх с поверхности земли со скоростью

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия

Для нахождения максимальной высоты H необходимо в (3.89) необходимо подставить

Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:

Скорость в момент падения:

Заметьте, что что означает — время подъема равно времени падения на ту же высоту.

Также получили: то есть — с какой скоростью бросили, с такой же скоростью тело упало. Знак «−» в формуле указывает, что скорость в момент падения направлена вниз, то есть против оси Oy.

3.2.12. Тело побывало на одной высоте дважды…

При бросании тела оно может дважды оказаться на одной высоте — первый раз при движении вверх, второй — при падении вниз.

1) Когда тело оказывается на высоте h?

Для тела, брошенного вверх с поверхности земли справедлив закон движения:

Когда тело окажется на высоте h его координата будет равна Получаем уравнение:

решение которого имеет вид:

2) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Когда тело окажется на максимальной высоте?

Время полета с высоты h назад до высоты h равно Как уже было показано, время подъема равно времени падения до той же высоты, поэтому время полета от высоты h до максимальной высоты равно:

Тогда время полета от начала движения до максимальной высоты:

3) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равно время полета тела?

Все время полета равно:

4) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равна максимальная высота подъема?

3.2.13. Как движется тело, брошенное горизонтально с высоты h?

Тело, брошено горизонтально с высоты h со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета определяется из условия

Для определения дальности полета необходимо в уравнение для координаты x вместо t подставить

Для определения скорости тела в момент падения необходимо в уравнение вместо tподставить

Угол, под которым падает тело на землю:

3.2.14. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту с высоты h?

Тело, брошено под углом α к горизонту с высоты h со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета до наивысшей точки определяется из условия

Скорость в наивысшей точке полета

Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени

Все время полета находится из условия получаем уравнение:

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:

Скорость в момент падения

Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

Угол падения:

 

3.2.15. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту земли?

Тело, брошено под углом α к горизонту с поверхности земли со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета до наивысшей точки определяется из условия

Скорость в наивысшей точке полета

Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени

Все время полета находится из условия получаем уравнение:

Получаем

Снова получили, что то есть еще раз показали, что время подъема равно времени падения.

Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:

Скорость в момент падения

Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

Угол падения:

то есть