Обратная матрица: определение, свойства, условие существования.
Пусть задана квадратная матрица А. Если существует матрица В, такая что А*В=Е, то говорят что матрица В является обратной по отношению к матрице А: В=А-1, А*А-1=Е.
Свойства:
1)Обратная и исходная матрицы перестановочны и матрица, обратная обратной, совпадает с исходной: А*А-1=А-1*А=Е.
2)Единственность матрицы: если для данной матрицы обратная мат сущ-т,то она только одна.
Только квадратная матрица может иметь обратную.
Для нахождения обратной матрицы можно использовать следующий алгоритм:
ü Смотрим, квадратная ли матрица: если нет, обратной матрицы не существует; если квадратная, переходим к след. пункту;
ü Вычисляем определитель ∆А; если он равен 0, обратной матрицы не существует; если он не равен 0, переходим к след. пункту;
ü Вместо каждого элемента матрицы ставим его алгебраическое дополнение (алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)s, где s – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент);
ü Полученную матрицу транспонируем;
ü Каждый элемент полученной матрицы делим на определитель исходной матрицы и получаем матрицу, обратную данной.
14) Постановка линейной производственной задачи, смысл переменных, векторов и матриц, допустимый и оптимальный план, математическая модель.
Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений или неравенств и среди всех неотрицательных решений найти то решение, при котором линейная однородная функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Изучение методов исследования и решения математических задач указанного типа составляет содержание раздела математики, кот. принято называть линейным программированием.
Предположим, что предприятие выпускает n видов продукции при использовании m видов ресурсов. Известны: технологическая матрица расходов i-го вида ресурса на единицу j-го вида продукции – А=(аij), где i= ; j= . Матрица запаса ресурсов
Известны прибыль, полученная предприятием от производства и реализации продукции j-го вида. Требуется составить план производства продукции: x = (x1, x2, x3,...xn), при котором предприятие получит наибольшую прибыль. Суммарная прибыль предприятия cj xj. Требуется среди всех решений системы уравнений (1) найти такое неотрицательное решение, при котором линейная форма (3) принимает наименьшее возможное значение.
Любое неотрицательное значение системы называют допустимым, а допустимое решение, при котором целевая ф-я принимает наименьшее значение – оптимальным решением задачи ЛП.
Ограничения по ресурсам записываются в виде:
а11x1 + a12x2 + … a1nxn ≤ b1
а21x1 + a22x2 + … a2nxn ≤ b2
. . . . .
аm1x1 + am2x2 + … amnxn ≤ bm.
где bi-запас ресурса iго вида, x1≥0, x2≥0, ...xn≥0.
Математическая модель задачи выглядит следующим образом: найти производственную программу (x1, x2, x3, x4), максимизирующую прибыль z = cj xj → max, если переменная xj удовлетворяет следующим ограничениям: aijxj ≤ bi; xj≥ 0; i= ; j= .
Если в матем-й модели какой-либо задачи планирования будут содержаться линейные неравенства, то их можно заменить линейными уравнениями с помощью дополнительных неотрицательных неизвестных.