По каким правилам при нахождении неотрицательных решений СЛАУ выбирается разрешающая неизвестная и разрешающее уравнение?

Решение ( ) системы называют неотрицательным, если все его компоненты α_j неотрицательны.

Если правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения также будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения СЛАУ, надо научиться вести процесс исключения неизвестных так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах этого процесса оставались неотрицательными. Для этого следует руководствоваться следующими правилами: 1)Если в СЛАУ имеются отрицательные свободные члены, то все такие уравнения необходимо умножить на (-1); 2) В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную, при которой есть хоть один положительный коэффициент, а затем в качестве разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему среди отношений свободных членов уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной в этих уравнениях.

Может случиться, что указанное минимальное отношение достигается при нескольких значениях индекса. Тогда любое из соответствующих им уравнений можно принять за разрешающее. Принято говорить в этом случае, что рассматриваемая СЛАУ является вырожденной.

СЛАУ не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится уравнение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.

Преобразования системы в соответствии с этими правилами называются симплекс-преобразованиями системы.

7)дайте определения:

· разрешающая неизвестная

· разрешающее уравнение

· базисная и свободная переменная

· базисное и общее решение

В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную, при которой есть хоть один положительный коэффициент, а затем в качестве разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему среди отношений свободных членов уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной в этих уравнениях.

Неизвестные типа X1,X2, …, Xm называют базисными , неизвестные Xm+1, X m+2, Xn – свободные.

Так как значения свободных неизвестных можно найти бесконечно много решений системы, называемых ее частными решениями, т.е.в этом случае система является совместной и неопределенной. Выражения базисных неизвестных через свободные вида

X1=h1-g1,m+1 - …- g1nxn ,

Xm = gm,m+1xm+1 - … - gmnxn

естественно назвать общим решением СЛАУ. Среди частных решений системы выделяются базисное , отвечающее нулевым значениям свободных неизвестных :

X1 = h1, x2 = h2, …, xm = hm, xm+1 = 0, …,Xn = 0

8) Матрица А=a_i,j, i,j=1,2,3. Разложите определитель матрицы А по элементам второго столбца?

a₁₁ a₁₂ a₁₃

А= a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

1 2 3

4 5 6 = -2* 4 6 + 5*1 3 – 8* 1 3=

7 8 9 7 9 7 9 4 6

9) Дайте определение ранга матрицы размером m*n. Определите ранг матрицы (матрица задана).

Рангом системы n-мерных в-ров называется максимальное число линейно независимых в-ров этой системы. ранг системы единичных в-ров равен n.

Ранг системы в-ров не изменяется, если она подвергается элементарным преобразованиям:

ü Умножение какого-нибудь в-ра системы на число, отличное от 0;

ü Прибавление к какому-нибудь в-ру системы другого в-ра этой же системы, умноженного на число.

ü Перестановка каких-либо в-ров системы.

У матрицы размером mxn можно рассматривать строки как n-мерные в-ры, а столбцы как m-мерные в-ры.

Ранг системы строк – строчный ранг. Ранг системы столбцов – столбцовый ранг. Таким образом, в прямоугольной матрице они всегда равны.

Ранг матрицы – максимальное число линейно независимых рядов.

10) Дайте определения:

· Совместная и несовместная СЛАУ

· Определенная и неопределенная СЛАУ

Решением СЛАУ называется такая система чисел к₁,к₂,…к_n, которые при подстановке обращает каждое из уравнений системы в верное тождество. В этом случае, когда система имеет решение, она называется совместной, в противном случае противоречивой или несовместной. Совместная система называется определенной или неопределенной в зависимости от того, имеет ли она одно или несколько решений. Две СЛАУ с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными или равносильными, если они имеют одни и те же решения, либо вообще не имеет решений. При этом число уравнений в равносильных системах может быть различным. Те преобразования, которые переводят СЛАУ в эквивалентную ей систему называются элементарными.