Функция распр. СВ и ее свойства

Ряд распр. не явл. исчерпыв. хар-кой для СВ, т.к. он сущ-ет только для дискретн. СВ. Непрерывная СВ(НСВ) имеет бесчисленное мн-во возм. знач., сплошь заполняющ. некот. промежуток. Составить табл., в кот. были бы перечислены все возм. знач. СВ невозможно. Кроме того в дальнейшем будет показано, что каждое отд. знач. обладает нулевой вер. Однако несмотря на рав-во 0-вых вер. отд. знач. НСВ, нахождение ее возм. знач. в разл. интервалах обладает разл. и отличными от 0 вер. Т.о. для НСВ, так же как и для ДСВ, можно определить закон распр., но в неск-ко ином виде. Для хар-ки поведения НСВ целесообразно использовать не вер. события X=x, а вер. соб. X<x, где x – некот. действит. число. Вер. P(X<x) явл. функцией аргумента x. Будем обозначать эту ф-цию. F(x). Опр.: Ф-цией распр. СВ X - ф-ция F(x), задающая вер. того, что СВ X принимает значение меньшее x, т.е. F(x)=P(X<x). Ф-ция. распр. F(x) назыв. также интегр. ф-цией распр. или интегр. законом распр. Ф-ция распр. существует для всех СВ(как дискр., так и непрерывн.).Она полностью хар-ет СВ с вер. т. зр., т.е. является одной из форм закона распр. Ф-ция распр. допускает простую геом. интерпретацию. Рассмотрим СВ X как случ. точку на оси OX, кот. в рез-те опыта м. занять то или иное положение. Пусть на оси OX выбрана конкр. точка x, тогда в рез-те опыта случ. точка X м. оказаться левее или правее точки x. Вер. того, что случ. точка X оказалась левее точки x и будет являться ф-цией. распр., зависит от положения точки x. (рисунок). Для ДСВ, кот. может принимать значение х₁,х_{2 …..} х_n , ф-ция. распр. имеет вид , где нер-во означает, что суммирование касается всех тех знач. х_i, вел-на кот. <x. Поясним эту формулу исходя из аргумента F(x). Предположим, аргумент x принял какое-то опр. знач., но такое, что выполняется нер-во , тогда левее числа x на числ. оси окажутся только те знач. СВ, кот. имеют индекс 1,2,3…,i. Поэтому нер-во X<x выполняется, если вел-на. X примет знач. х_k, где k=1,2,3…,i. Т.о. соб. X<x наступит, если наступит любое из соб. , ,…, . Т.к. эти соб. несовмест., то по теор. слож. вер.P(X<x)= + +…+ = . Построим ряд распр. ДСВ Х:

При , F(x)= =0; При , F(x)= = ; при , F(x)= = = ; при , F(x)= = + ; при , F(x)= = +…+ = ; при , F(x)= +…+ = . Для ДСВ график ф-ции распр. представляет собой разрывную ступенчатую фигуру. (нарисовать). Когда перемен. х проходит через какое-ниб. из возм. знач. СВ, знач. Ф-ции распр. меняется скачкообразно,т.е. ф-ция имеет скачок в тех точках, в кот. СВ принимает конкр. знач. согласно ряду распр., причем вел-на скачка равна вер. этого знач.. Замечание: По ф-ции распр. ДСВ всегда м. восстановить ее ряд распр. Св-ва ф-ции распр.: 1) если F(x) –ф-ция распр. СВ Х, то для всех х. Это св-во вытекает из опр. Ф-ции распр.; 2) F(x) явл. неубывающей, т.е. при , . Док-во: Пусть - точки числ. оси, причем . Покажем, что . Рассмотрим 2 несовмест. соб.: соб. А состоит в том, что , а соб. В сост. в том, что . Тогда соб. А+В = . По теор. слож. вер. P(A+B)=P(A)+P(B) или P(X< )= P(X< )+P( ). Используя опр. ф-ции распр. получаем F(х₂)=F(х₂)+ P( ). Т.к. вер. того, что ( ) 0, то F(х₂) F(х₁), т.е. F(x) – неубыв. ф-ция; 3) если F(x) – ф-ция распр., то =0, =1. Док-во: Т.к. F(x) – монот. Ф-ция и ограниченная (из св-ва 1), то сущ-ет. В силу предполагаемой непрерывности F(x) можно записать, что = = . Т.к. соб. невозможное, то его вер.=0. Значит =0. Аналогично = = . Соб. - достоверное, а его вер. =1. Значит =1.