Вер. появления хотя бы одного события

Пусть в рез-те испытания могут появиться n событий, независимых в сов-сти, либо некоторые из них. Причем вер-ти появления каждого из соб. известны. Как найти вер. того, что наступит хотя бы одно из них? Теорема: Вер. появления хотя бы одного из событий А₁, А₂…А_n, независимых в сов-сти равна разности между 1 и произведением вер-тей противоположных соб. , т.е. P(A₁+A₂+…+A_n)=1— P( ) . Док-во: Соб. (ни одно соб. не произошло) и соб. A₁+A₂+…+A_n противоположны, значит P(A₁+A₂+…+A_n)+P( )=1. Отсюда P(A₁+A₂+…+A_n)=1- P( )=1- P( ) (последнее действие - по теореме умножения вер-тей). Частный случай: Если событ. А₁, А₂…А_n имеют одинаковую вер. p, то вер.. появления хотя бы 1 из этих соб. вычисляется по формуле 1- qⁿ, где q=1-p.

53 Проверка гипотезы о законе распределения.
Одна из важнейших задач анализа вариационных рядов заключается в выявлении закономерности распределения и определении ее характера. Основной путь в выявлении закономерности распределения - построение вариационных рядов для достаточно больших совокупностей. Большое значение для выявления закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда: выбор числа групп и размера интервала варьирующего признака.
Когда мы говорим о характере, типе закономерности распределения, то имеем в виду отражение в нем общих условий, определяющих вариацию. При этом речь всегда идет о распределениях качественно однородных явлений. Общие условия, определяющие тип закономерности распределения, познаются анализом сущности явления, тех его свойств, которые определяют вариацию изучаемого признака. Следовательно, должна быть выдвинута какая-то научная гипотеза, обосновывающая определенный тип теоретической кривой распределения.
Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов (значений признака). Теоретическое распределение может быть выражено аналитически - формулой, которая связывает частоты вариационного ряда и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения.
Большое познавательное значение имеет сопоставление фактических кривых распределения с теоретическими.
Как уже отмечалось, часто пользуются типом распределения, которое называется нормальным. Формула функции плотности нормального распределения:
Следовательно, кривая нормального распределения может быть построена по двум параметрам - средней арифметической ц и среднему квадратическому отклонению ст.
Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в генеральной совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению. Может проводиться и сравнение частостей.
Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о биномиальном распределении, распределении Пуассона и т.д. Причина частого обращения к нормальному распределению в том, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем математической статистики, применяемых для оценки репрезентативности выборок, при измерении связей и т. д. В социально-экономической статистике нормальное распределение встречается редко, но сравнение с ним важно для выяснения степени и характера отклонения от него фактического распределения.
Близость средней арифметической величины, медианы и моды указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Но более полная и точная проверка соответствия распределения гипотезе о нормальном законе производится с использованием специальных критериев, из которых рассмотрим наиболее употребимый критерий χ2 (хи-квадрат) К. Пирсона.
Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения закону нормального распределения необходимо частоты (частости) фактического распределения сравнить с частотами (частостями) нормального распределения. Значит, нужно по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой нормального распределения f? по формуле (для дискретных рядов):
,
где п - объем выборки;
i - величина интервала вариационного ряда.
Значение ординат кривой нормального распределения f(t) можно получить по таблицам значения функции:
Проверяемая гипотеза формулируется как Н0: fj = fj альтернаивная - как Н1: fj fj.
Проверка гипотезы требует, чтобы был построен теоретический ряд распределения с частотами fj, соответствующими нормальному закону, при тех же значениях параметров распределения
Методика построения теоретического ряда такова:
1. По фактическому интервальному ряду вычисляются значения / для каждой группь< хозяйств по формуле (для интервальных рядов):
-для начала и конца интервала.
2. Вычисляется вероятность попадания единицы наблюдения в данный интервал при выполнении гипотезы о нормальном законе:
, где |tj| > |tj+1|
3. Определяется теоретическая частота в данной группе, равная произведению объема совокупности на вероятность попадания в данный интервал:

4. Находится значение критерия χ2 по формуле

где k — число категорий ряда распределения;
j - номер категории;
fj - частота эмпирического распределения;
f?j - частота теоретического распределения.
При расчете χ2 частоты можно заменить частостями:

где pj - частости эмпирического распределения;
πj - вероятности теоретического распределения.
Если все эмпирические частоты равны соответствующим теоретическим частотам, то χ2 равно нулю. Очевидно, что чем больше отличаются эмпирические и теоретические частоты, тем χ2 больше; если расхождение несущественно, то χ2 должно быть малым. Имеются специальные таблицы критических значений χ2 при 5%-ном и 1%-ном уровнях значимости. Критические значения зависят от числа степеней свободы (d.f. - degrees of freedom) и уровня значимости.
Число степеней свободы рассчитывается так: если эмпирический ряд распределения имеет k категорий, то k эмпирических частот f1, f2, …, fk должны быть связаны следующим соотношением: Если параметры теоретического распределения известны, то только k - 1 частот могут принимать произвольные значения, т. е. свободно варьировать, а последняя частота может быть найдена из указанного соотношения. Поэтому говорят, что система из k частот благодаря наличию одной связи теряет одну «степень свободы» и имеет только k — 1 степеней свободы. Кроме того, если при нахождении теоретических частот р параметров теоретического распределения неизвестны, то они должны быть найдены по данным эмпирического ряда. Это накладывает на эмпирические частоты еще р связей, благодаря чему система теряет еще р степеней свободы. Таким образом, число свободно варьируемых частот (а значит, и число степеней свободы) становится равным:
d.f. = (k - 1) - р = k - (р + 1). (7.30)
Полученное значение критерия χ2 сравнивается с табличным при числе степеней свободы, равном числу групп (с условием Ф. Йейтса), за минусом трех - по числу фиксированных параметров в формуле нормального закона распределения и с учетом равенства сумм теоретических и фактических частот (см. приложение, табл. 4).
В первой графе этой таблицы дано число степеней свободы, а в заголовках граф - уровни значимости. Если фактическое значение χ2 превышает табличное при том же числе степеней свободы, то вероятность соответствия распределения нормальному закону меньше указанной. Результаты расчета χ2 по данным табл. 5.6 (глава 5) приведены в табл. 7.5 при х = 30,3; s = 8,44.
Сумма теоретических частот нормального распределения меньше суммы фактических частот, так как нормальный закон не ограничен рамками фактических минимума и максимума.

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вер. некоторого соб. А, которое может произойти вместе с одним из соб. H₁,H₂,…,H_n, образующих полную группу несовместных соб. Соб. H₁,H₂,…,H_n будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) вычисляется как P(A) = + +…+ = . Т.е. P(A) вычисляется как сумма произведений вер-ти каждой гипотезы на соотв. условную вер. соб. А. Док-во: Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n образуют полную группу, то соб. А может появиться в комбинации с какой-л. из этих гипотез, т.е. A=H₁A+H₂A+…+H_nA. Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n несовместны, то и комбинации H₁A,H₂A,…,H_nA несовместны. Применяя теорему сложения, получаем P(A)= P(H₁A)+P(H₂A)+…+P(H_nA). Применяя к событию H_iA теорему умножения вер-тей, получаем P(A)= + +…+ .

Формула Байеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вер. явл. теорема гипотез или формула Байеса. Поставим след. задачу: имеется полная группа несовместных гипотез H₁,H₂,…,H_n. Вер-ти этих гипотез до опыта известны и равны P(H₁), P(H₂),…, P(H_n). Произведен опыт, в рез-те кот. появилось некоторое соб. А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. нужно найти усл. вер. P_A(H_i) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вер.: P(AH_i)=P(A)* P_A(H_i)=P(H_i)* , ; P_A(H_i)= , . Выражая P(A) с пом. формулы полной в-сти, получаем P_A(H_i)= , . Данная формула – формула Байеса или теоремой гипотез.

Формула Бернулли

При решении вер-ых задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в кот. одно и тоже испытание повторяется многократно. В рез-те каждого опыта может появиться или не появиться некоторое соб. А, причем нас интересует не рез-т каждого отдельного опыта, а общее число появлений соб. А в рез-те серии опытов. Модель рассматрив. ситуации выглядит след. образом: проводится n исп-ий, в каждом из кот. соб. А может произойти или нет. Причем вер. соб. в каждом отдельном исп-нии постоянна, т.е. не меняется от исп. к исп. Требуется определить вер. m появлений соб. А в n исп-ях. Подобные задачи решаются довольно легко, если исп-ия явл. независимыми. Опр.: Неск-ко испытаний назыв. независим. относит-но соб. А, если вер. соб. А в кажд. из них не зависит от исходов др. испытаний. Напр, неск-ко последоват. бросаний монет представляют собой независимые опыты. Производится n независимых опытов, в кажд. из кот. может появиться или не появ. некоторое соб.А. Вер. появл. данного соб. в каждом опыте постоянна и равна p, а вер. непоявления=q. Требуется найти вер. P_n(m) того, что соб. А в этих n опытах появится m раз. Рассмотрим событие B_m, состоящ. в том, что соб. А появится в этих n опытах ровно m раз. Разложим соб. B_m на сумму произведения соб., состоящих в появлении или непоявл. соб. А в определ. опыте. Каждый вар-т появл. соб. B_m должен состоять из m появлений соб. А и n-m непоявл. соб. А. B_m=А₁А₂…А_m * … Каждое произв. соб. А должно происходить m раз, а - n-m раз. Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. равно числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в кот. произошло соб. А. Вер. каждой такой комбинации по теор. умнож. для независ. соб. равна . Т.к. комбинации между собой несовместны, то по теор. сложения вер. соб. B_m равна . Т.о., если производится n независим. опытов, в кажд. из кот. соб. А появляется с вер. p, то вер. того, что соб. А появится ровно m раз, выражается формулой