Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Случайные события А и Bназываются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru ;

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru - вынули черный шар из первого ящика,
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru ;

В – белый шар из второго ящика,
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru ;

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru - черный шар из второго ящика,
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru или Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru . По теореме об умножении вероятностей
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru , Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Решение.

Пусть А – попадание первого стрелка, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru ;

В – попадание второго стрелка, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

Тогда Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru - промах первого, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru ;

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru - промах второго, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

б) Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru – двойной промах, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

г) Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru – одно попадание,

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

2. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

3. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Если события Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru имеют одинаковую вероятность Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru , то формула принимает простой вид:

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru (попадание первого орудия), Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru (попадание второго орудия) и Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru , Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru и Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru , Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru , Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Искомая вероятность Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Искомая вероятность Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru .

Приняв во внимание, что, по условию, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru (следовательно, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru ), получим

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru

Итак, Теорема сложения вероятностей для совместных событий. - student2.ru , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.



Наши рекомендации