Проверка сложной гипотезы об интерквантильном промежутке

Непрерывная случайная величина xобразует генеральную совокупностьX, на которой определены вероятностная мера и плотность распределения . Вид плотности распределения произвольный. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема .

Заданы допускаемые пределы , внутри которых должен находиться генеральный интерквантильный промежуток , содержащий не менее значений этой генеральной совокупности. Это означает, что в силу монотонности вероятностная мера интервала , которая определена на генеральной совокупности X, не должна быть меньше, чем , поскольку предполагаемый интерквантильный промежуток вложен в этот интервал. Поэтому гипотеза об интерквантильном промежутке

: против альтернативы :

эквивалентна гипотезе

: против альтернативы

: ,

то есть гипотезе о вероятности

: p ³ против альтернативы : p < .

Заданы вероятности ошибок первого и второго рода a и b.

Гипотезы такого рода проверяются при испытаниях продукции, на характеристики которых установлены пределы допускаемых отклонений от номинальных значений, объявленных на этикетках, в документах или в рекламе.

Естественной статистикой для проверки этой гипотезы является оценка вероятности в соответствии с ее частотным определением:

,

где – количество выборочных значений, попавших в интервал , n – объем выборки.

Излагаемый метод проверки сформулированной гипотезы относится к distribution-free методам, то есть к методам, которые в отличие от предыдущих, пригодных только при нормальном распределении, не зависят от вида плотности распределения.

Будем использовать подход, который применялся в предыдущих пунктах. Для этого необходимо определить границы доверительного интервала для вероятности. В соответствии с разд. 2.4.2 и заданными вероятностями ошибочных решений a и bграницы доверительного интервала для вероятности определяются из уравнений:

нижняя граница

;

верхняя граница

.

На рис. 41 показаны варианты расположения доверительного интервала для вероятности относительно зон, соответствующих гипотезам и . В соответствии с формулировкой гипотезы и в связи с тем, что , положение верхней границы доверительного интервала в зоне, соответствующей гипотезе , безразлично. По указанным причинам для этого варианта строится доверительный интервал, верхняя граница которого равна 1, а нижняя граница определяется заданной вероятностью b ошибки второго рода:

.

Таким образом, решение о справедливости гипотезы принимается, когда нижняя граница доверительного интервала для вероятности оказывается больше заданного значения , то есть когда

.

В данной ситуации вероятность того, что истинное значение вероятности находится в зоне, соответствующей гипотезе , не превышает b, поскольку в данной ситуации , значит, в силу монотонности вероятностной меры .

Из этого следует, что вероятность ошибки второго рода .

В соответствии с формулировкой гипотезы и поскольку положение нижней границы доверительного интервала в зоне, соответствующей гипотезе , безразлично. В связи с этим здесь строится доверительный интервал, нижняя граница которого равна 0, а верхняя граница определяется заданной вероятностью a ошибки первого рода:

.

Решение об отклонении нулевой гипотезы принимается, когда верхняя граница доверительного интервала для вероятности меньше заданного значения , то есть когда

< .

Вероятность ошибки в этом решении не превышает заданного значения a, поскольку в данной ситуации ; значит, в силу монотонности вероятностной меры .

Из этого следует, что вероятность ошибки первого рода .

В третьем варианте, показанном на рис. 41, в), не имеется достаточных оснований для принятия никакого иного решения, кроме решения продолжить испытания с целью увеличения объема выборки. Надежда здесь возлагается на то, что с увеличением объема выборки ширина доверительного интервала уменьшается.

После увеличения объема выборки до снова строятся доверительные интервалы при тех же заданных значениях вероятностей a и b, и на втором этапе вновь возможны три варианта расположения нового, более узкого доверительного интервала относительно значения . Все описанные рассуждения и действия повторяются.

В конечном итоге описанная последовательная процедура проверки сложной гипотезы о вероятности должна завершиться выходом доверительного интервала целиком в одну из зон и принятием соответствующей гипотезы. Когда по экономическим, техническим и иным причинам дальнейшее продолжение испытаний (экспериментов) оказывается невозможным, придется принимать произвольное (так называемое волевое) решение об отклонении той или иной гипотезы в зависимости от того, какого рода риск (первого или второго) более оправдан.

Удобным для практического применения может быть иной метод проверки сложной гипотезы о вероятности, а именно, метод статистического последовательного анализа А. Вальда [8,9], которому посвящен отдельный раздел 2.7.6.