Проекции силы на ось и на плоскость

Взяв правую систему неподвижных осей декартовых координат х,у и z, разложим силу по правилу параллелепипеда на три составляющие силы , и , направленные параллельно этим осям (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Силы , и называются компонентами силы по осям х, у и z.

Алгебраические значения длин направленных отрезков Аа, Аb и Ас называются проекциями силы на оси x,y и z.

Обозначив , и единичные векторы, направленные по осям х, у и z, а X,Y,Z - проекции силы на эти оси, получим

.

Но

;

поэтому

. (2.1)

Равенство (2.1) представляет собой формулу разложения силы на составляющие по осям координат.

Проекция силы на каждую координатную ось определяется произведением модуля силы на косинус угла между направлениями оси и силы:

, (2.2)

где - углы, заключенные между направлением силы и направлениями осей х,у и z.

Если известны проекции силы на три взаимно перпендикулярные оси х, у и z, то модуль и направление силы определяются по следующим формулам:

; (2.3)

(2.4)

Если рассматриваются силы, лежащие в одной плоскости, то, взяв две взаимно перпендикулярные оси х и у в этой плоскости, каждую силу можно разложить на две составляющие силы и , направленные параллельно этим осям (рис. 2.2). В этом случае Модуль и направление силы определяются по проекциям:

. (2.5)

Рис. 2.2

В формуле (2.2) угол представляет собой угол α между направлениями силы и оси x, проведенной через точку приложения силы (рис. 2.3). Этот угол отсчитывается от оси по часовой стрелке или против; он не должен превышать 180° при любом направлении силы.

Рис. 2.3

При вычислении проекции силы на ось возможны следующие частные случаи:

Проекция положительна: .

2. Проекция равна нулю: .

3. Проекция отрицательна: ,

где β - острый угол между линией действия силы и осью.

При решении задач рекомендуется вычислять абсолютное значение проекции силы как произведение модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью, определяя знак проекции непосредственно по чертежу.

Равнодействующая сходящейся системы сил

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Если к телу приложены две силы, линия действия которых пересекаются в одной точке, то их равнодействующая приложена в точке А пересечения линий действия сил; она изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 2.4). Построение параллелограмма сил можно заменить построением треугольника сил AВD (рис. 2.5).

Рис. 2.4 Рис. 2.5

Направление равнодействующей силы по контуру силового треугольника противоположно направлению обхода контура треугольника, определяемому слагаемыми силами.

При помощи параллелограмма или треугольника сил можно решить и обратную задачу - разложить силу на две составляющие и , приложенные в той же точке и направленные по заданным линиям действия KL и DE (рис. 2.6 и 2.7).

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Используя известные формулы тригонометрии (теорему синусов), имеем:

.

Так как , то

.