Контрольные задачи к главе 6

«Характеристические функции случайных величин»

6.1. Ряд распределения случайной величины X представлен таблицей:

X	–2
P	¼	½	¼

Найти характеристическую функцию случайной величины X.

6.2. Найдите характеристическую функцию непрерывной случайной величины , имеющей плотность распределения

6.3. Найдите характеристическую функцию случайной величины , ряд распределения которой представлен в таблице:

6.4. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей равномерное на интервале распределение:

6.5. Найдите плотность распределения случайной величины, имеющей характеристическую функцию

6.6. Найдите характеристическую функцию непрерывной случайной величины , имеющей плотность распределения

6.7. Независимые случайные величины и распределены по экспоненциальному закону с параметрами и . Найти характеристическую функцию случайной величины .

6.8. Случайная величина X имеет плотность распределения . Найти характеристическую функцию случайной величины X.

6.9. Найдите характеристическую функцию случайной величины , ряд распределения которой представлен в таблице:

6.10. Найдите характеристическую функцию непрерывной случайной величины , имеющей плотность распределения

6.11. Найдите характеристическую функцию неотрицательной целочисленной случайной величины , распределение которой задается вероятностями

6.12. Случайная величина распределена равномерно на интервале , а случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Найдите характеристическую функцию случайной величины , если известно, что и являются независимыми.

6.13. Найти закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна .

6.14. Найдите характеристическую функцию случайной величины , где Х – случайная величина, имеющая плотность распределения

.

6.15. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей характеристическую функцию

6.16. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, имеющей характеристическую функцию .

6.17. Найти закон распределения случайной величины X, характеристическая функция которой равна .

Задачи, предлагаемые для решения

На практических занятиях

По второму разделу курса

«Случайные процессы»

Пример 2.1. Являются ли периодическими процессы

X(t) = a₁sin(2t + Q₁) + a₂sin(3t + Q₂) + a₃sin(7t + Q₃);

Y(t) = a₁sin(2t + Q₁) + a₂sin(3t + Q₂) + a₃sin( t + Q₃) ?

Решение.Сумма нескольких синусоидальных образует периодический процесс только в том случае, если отношения всех возможных пар частот представляет собой рациональные числа. Это означает, что существует некоторый основной период, удовлетворяющий формуле: X(t) = X(t ± nT₀), n = 1,2,3¼

Поэтому процесс X(t) периодический, поскольку 2/3, 2/7, 3/7 – рациональные числа (с основным периодом равным 1).

Процесс Y(t) не является периодическим, поскольку числа иррациональные (и основной период равен бесконечности). В этом случае процесс является почти периодическим, но соотношение, записанное для X(t) не удовлетворяется при любых конечных значениях T₀.

Пример 2.2. Периодический процесс формируется в результате сложения трех синусоидальных волн с частотами 60, 75, 100 Гц. Определить основной период этого процесса. Как будет выглядеть ряд Фурье этого процесса?

Решение. Наибольший общий делитель указанных частот равен пяти, поэтому период результирующего периодического процесса составляет 0,2 секунд. Следовательно, при разложении в ряд Фурье значения c_n будут равны нулю при всех n, кроме n = 12, n = 15, n = 20.

Пример 2.3. Элементарная случайная функция имеет вид где X – случайная величина с характеристиками m и s; a – неслучайная величина. Требуется найти характеристики Y(t).

Решение.Все характеристики выразим по их определению.

Пример 2.4.Случайная функция имеет вид где X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами m и s. Найти основные характеристики функции Y(t).

Решение.Математическое ожидание и дисперсию функции Y(t)выразим по их определению:

Найдем корреляционную функцию.

Центрируем функцию Y(t): .

Тогда

Пример 2.5.Мощность угольного пласта с математическим ожиданием (средним значением) 3,4 м является нормальной стационарной случайной функцией по направлению отработки с АКФ (r – в метрах). Скорость продвижения забоя равна 1,5 м/ч. В текущий момент обработки пласта его мощность равна 4 м. Определить вероятность того, что через 2 часа работы мощность пласта будет больше 4,4 м, если a = 2 м²; b =0,1 м²; с =0,2 м^–1.

Решение. Обозначим x₁ = X(t₁) = 4 м; x₂ = X(t₁ + 2). Для условного закона распределения x₂ имеем ,

где f(x₁,x₂) – нормальный закон распределения системы случайных величин с корреляционной матрицей ,

t = (2 часа)×(1,5 м/час) = 3 м.

Искомая вероятность определиться следующим образом:

.

Условный закон распределения определяется выражением:

.

Вычислим неизвестные параметры этой формулы.

Имеем . Тогда

.

Используя таблицу функции распределения нормального закона определяем искомую вероятность

.

Пример 2.6.

На вход дифференцирующего механизма поступает случайный сигнал с математическим ожиданием

и корреляционной функцией

.

Определить математическое ожидание и дисперсию сигнала на выходе системы.

Решение.Случайная функция на выходе системы связана с оператором дифференцирования .

Применяя общие правила, имеем:

;

Полагая , имеем

,

т.е. дисперсия на выходе является постоянной величиной.

Пример 2.7. Может ли быть при каких–либо значениях аргументов:

1) Функция распределения процесса больше единицы?

2) Плотность распределения процесса больше единицы?

3) Функция распределения процесса отрицательной?

4) Плотность распределения процесса отрицательной?

5) Дисперсия процесса больше единицы?

6) Среднеквадратичное отклонение процесса меньше нуля?

7) Корреляционная функция процесса отрицательной?

8) Спектральная плотность процесса отрицательной?

9) Нормированная корреляционная функция процесса равна нулю?

Решение.

1) нет; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) нет; 9) да.

Пример 2.8. Как изменятся основные характеристики случайного процесса, если: 1) его значения умножить на постоянную величину a; 2) к процессу добавить постоянную величину a?

Решение.1) Математическое ожидание умножится на a; дисперсия увеличится в a² раз; среднеквадратическое отклонение умножится на ½a½; корреляционная функция увеличится в a²раз; спектральная плотность умножится на a²; функция плотности в a раз увеличит масштаб по оси абсцисс и в a раз уменьшит масштаб по оси ординат.

2) К математическому ожиданию добавится величина a; график функции плотности сдвигается влево на a единиц, если a < 0, или на a единиц вправо, если a > 0; другие характеристики не изменятся.

Пример 2.9. Какова размерность: 1) функции распределения случайного процесса; 2) плотности распределения; 3) математического ожидания; 4) дисперсии; 5) среднеквадратического отклонения; 6) корреляционной функции; 7) спектральной плотности; 8) нормированной корреляционной функции; 9) нормированной спектральной плотности; 10) взаимной корреляционной функции?

Решение.1) безразмерная; 2)обратная размерность случайного процесса; 3) размерность случайного процесса; 4) размерность квадрата случайного процесса; 5) размерность случайного процесса; 6) размерность квадрата случайного процесса; 7) размерность квадрата случайного процесса, деленная на размерность частоты; 8) безразмерная; 9) обратная размерность частоты; 10) размерность одного процесса, умноженная на размерность другого.

Пример 2.10. Корреляционная функция процесса определяется выражением , где a > 0. Определить спектральную плотность процесса.

Решение. Воспользуемся следующим соотношением

.

Имеем

Пример 2.11. Нормированная АКФ процесса убывает по линейному закону от единицы до нуля. Определить нормированную спектральную плотность процесса.

Решение. Корреляционная функция выражается формулой

Нормированную спектральную плотность получим из соотношения

.

Первый (абсолютный) максимум спектральной плотности достигается при w = 0. Раскрытием неопределенности в этой точке убеждаемся, что он равен t₀/p. Изменение t₀ равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям при сохранении ее единичной площади.

Пример 2.12. Спектральная плотность изменения температуры воздуха в летний период (температура фиксировалась ежедневно в 12.00 часов) выражается зависимостью .