Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Постановка задачи

Многие практические задачи при их математическом моделировании сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к уравнениям, в которые входят независимая переменная, искомая функция и ее производные. В данной лабораторной работе рассматриваются численные методы поиска решения численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru для дифференциального уравнения первого порядка

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru (4.1)

которое удовлетворяет начальному условию

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru . (4.2)

Известно [1]–[3], что для существования и единственности решения этой задачи(задача Коши) достаточно, чтобы функция численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru и ее частная производная численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru были непрерывны в некоторой области плоскости численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , содержащей окрестность точки численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru . В то же время аналитическое решение задачи Коши можно найти только в отдельных, наиболее простых случаях, изучаемых в курсе высшей математики [1]. В остальных случаях решение ищется приближенными методами.

Все приближенные методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно условно разделить на следующие группы: аналитические (дают приближение численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru аналитическим выражением), графические (дают приближение численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru графиком) и численные (дают приближение численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru с помощью таблицы). В данной лабораторной работе рассматриваются лишь два из большого числа численных методов решения задачи Коши: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта [1]–[3]. При этом решение численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru находится в виде таблицы своих значений: численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru соответственно для значений аргумента: численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru .

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru

Рис. 4.1. Интегральная кривая y=y(x) (кривая 1) и

график приближенного решения задачи Коши (кривая 2)

Если соединить найденные в процессе решения точки численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , гладкой кривой, то получим график приближенного решения задачи Коши (рис. 4.1). Этот график по мере удаления от начальной точки численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru все более и более будет отклоняться от графика точного решения (интегральная кривая). Степень отклонения приближенного решения от точного характеризует точность численного метода.

Метод Эйлера

Метод Эйлера состоит в следующем. Отрезок численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , на котором ищется приближенное решение, делится точками

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru

на n равных частей, где численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru – шаг интегрирования дифференциального уравнения. Зная значение численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru решения численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , можно найти приближенно численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru в точках численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru по следующей рекуррентной формуле:

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru (4.3)

Геометрически в методе Эйлера искомую интегральную кривую на интервале численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru заменяем отрезком касательной к этой интегральной кривой в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru (рис. 4.2). Уравнение касательной имеет вид

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru

где численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru . Поэтому ордината касательной в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru равна численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , т. е. получили формулу (4.3) для случая численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru . Далее строим касательную в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru к интегральной кривой 2, которая уже не совпадает с искомой. Находим ординату численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru касательной в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , получаем формулу (4.3) уже при численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru . И так до тех пор, пока не достигнем конца отрезка b (рис. 4.3).

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru

Рис. 4.2. Графическая иллюстрация метода Эйлера

1 – искомая интегральная кривая, 2,3 – другие интегральные кривые

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru

Рис. 4.3. Графическая иллюстрация метода Эйлера

1 – ломаная Эйлера, 2 – искомая интегральная кривая

Для оценки локальной погрешности метода Эйлера в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru используется неравенство [1]–[3]

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru (4.4)

где численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru – точное значение решения задачи Коши в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , а численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru – приближенные значения решения, вычисленные по формуле (4.3) с шагами численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru и численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru соответственно. Из неравенства (4.4) следует, что для достижения необходимой точности численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru нужно просчитать значение численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru по формуле (4.3) с шагом численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , а затем, уменьшив шаг вдвое, снова повторить расчеты. Если при этом окажется, что для всех численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru выполняется неравенство: численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru то на шаге численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru достигнута необходимая точность.

Метод Рунге-Кутта

Метод Эйлера прост в реализации, но обладает сравнительно небольшой точностью. Поэтому для решения задачи Коши с повышенной точностью обычно используют метод Рунге-Кутта [1]–[3].

Как и прежде, разбиваем отрезок интегрирования численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru на n равных частей. Зная значения численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru – решение задачи Коши в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , будем искать значение решения в точке численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru по следующей формуле Рунге-Кутта:

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru (4.5)

где

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru (4.6)

Вычисления по формулам (4.5), (4.6) выполняются в следующем порядке. Для начальной точки численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , где численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , вычисляют численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru , затем последовательно численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru и численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru . После этого все значения подставляются в формулу (4.5) численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru и находится численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru при численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru . Далее процесс продолжается аналогично до конца отрезка численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru .

Для оценки локальной погрешности метода Рунге-Кутта используется уже неравенство [2], [3]:

численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru (4.7)

где численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - student2.ru имеют тот же смысл, что и в неравенстве (4.4).

Наши рекомендации