Неопределённый интеграл и его свойства
Неопределённый интеграл и его свойства
Первообразная и неопределённый интеграл
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти её производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию
, зная её производную
(или дифференциал). С такой задачей мы встречаемся и в экономике, например, при нахождении функции оборотных средств по известной скорости формирования оборотных средств.
Функция называется первообразнойдля функции
на интервале
, если для любого
выполняется равенство
.
Например, первообразной функции , является функция
, действительно
. Первообразными будут также функции
(
- постоянная), которые также удовлетворяют условию .
Если первообразная для
, то выражение
, где
- произвольная постоянная, называется неопределённым интеграломот функции
и обозначается символом
, где
- подынтегральная функция,
- подынтегральное выражение,
- переменная интегрирования.
Таким образом,
.
Например, .
Нахождение первообразной по её производной или отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированиемданной функции. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от полученного результата и убедиться, что получена подынтегральная функция.
Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Приёмы непосредственного интегрирования
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
;
.
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.
.
Постоянный множитель можно вынести из под знака неопределённого интеграла, т.е.
.
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.
.
Приведём таблицу основных интегралов
I. .
II. .
III. .
IV. .
V. .
VI. .
VII. .
VIII. .
IX. .
X. .
XI. .
XII. .
XIII. .
XIV. .
XV. .
XVI. .
Справедливость формул проверяется дифференцированием.
Вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов и простейших приёмов называется непосредственным интегрированием.
Пример 1. Найти .
Решение
Применив свойства и
, имеем
=
=
.
Далее находим интегралы с использованием табличных формул:
;
;
;
.
Таким образом,
=
+
+
+
.
Обычно, все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой, поэтому
=
+
+
+
.
Пример 2. Найти интегралы, разложив подынтегральную функцию в сумму функций:
а) ;
б) ;
в) .
Решение
а) Применяя формулу сокращенного умножения и умножая почленно, преобразуем подынтегральную функцию в сумму:
.
б) Разделим почленно числитель на знаменатель, применим свойства ,
и табличные интегралы III, IV.
.
в) Для разложения подынтегральной функции в сумму функций разделим числитель на знаменатель «углом».
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | |
![]() |
Следовательно,
, тогда
.
Решение
а) Чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной .
.
Возвращаясь к , получим
.
б)
.
в)
.
г)
.
При вычислении интегралов б, в, г была использована линейная подстановка . В общем случае справедлива формула
,
Формулу применяют также в обратном направлении
.
В этом случае говорят о наличии дифференциальной связи.
Пример 4. Найти интегралы, используя наличие дифференциальной связи:
а) ; б)
; в)
; г)
.
Решение
а)
.
б)
.
в)
.
г) .
В первом из интегралов выполним замену
.
,
значит
.
Решение
.
Определённый интеграл
Решение
Так как одной из первообразных для функции является
, то применяя формулу , получим
.
Решение
.
Интеграл от неотрицательной функции на отрезке
- неотрицательное число, то есть если
на
, то
.
Если на
выполняется неравенство
, то такое же неравенство выполняется и для интегралов, т.е.
.
Пусть
- наименьшее, а
- наибольшее значения непрерывной функции
на
, тогда
.
Пример 11. Оценить определённый интеграл .
Решение
Функция убывает на промежутке
, поэтому
,
. Значит
,
.
Если
непрерывна на отрезке
, то найдётся такое значение
, что
.
- среднее значение функции
на отрезке
.
При вычислении определённых интегралов применяют также метод замены переменной, который позволяет упростить интеграл. При этом в отличие от неопределённого интеграла нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы интегрирования новой переменной и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
Формула замены переменной в определённом интеграле имеет вид
.
Пример 12. Вычислить интегралы:
а) ; б)
.
Решение
а)
.
б)
.
Формула интегрирования по частям в определённом интеграле имеет вид
.
Пример 13. Вычислить интеграл .
Решение
,
так как ,
.
Решение
Фигура заключена между графиками функций и
. Площадь
находим как разность площадей
.
Вычисление объёма тела вращения. Пусть
- непрерывна и неотрицательна на
(рис.2). Тогда тело, образованное вращением вокруг оси
криволинейной трапеции
, имеет объём
.
![]() |
Рис. 2
Пример 15. Найти объём тела (рис.3), полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями ,
,
,
.
![]() |
Рис. 3
Решение
Искомый объём равен
.
Экономические приложения определённого интеграла
Пример 16. Дана функция предельных издержек
,
,
где - объём выпускаемого товара. Найти функцию издержек
и вычислить издержки в случае производства 10 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 30 рублей.
Решение
Известно, что предельные издержки есть производная от функции издержек
, т.е.
. Значит, функцию издержекнаходим интегрированием
.
Для заданной функции имеем
или
.
Из условия найдём
. Тогда получаем,
.
При вычислим
.
Пример 17. Функция изменения затрат времени на изготовление изделий имеет вид . Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от
до
.
Решение
Если известна функция , описывающая изменение затрат времени на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где
- порядковый номер изделия в партии, то среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от
до
, вычисляется с помощью интеграла
.
В нашем случае
.
Несобственные интегралы
При определении определённого интеграла предполагалось, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Однако возможны случаи, когда одно или оба этих условия не выполняются. В этом случае соответствующие интегралы называются несобственными.
Пусть функция интегрируема на каждом конечном отрезке
, т.е. существует определённый интеграл
. Тогда за несобственный интеграл
принимают предел
.
Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что расходится.
Итак,
.
Аналогично можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом
.
Или с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования .
.
Если существуют несобственные интегралы и
, то существует и несобственный интеграл
, независящий от выбора промежуточной точки
.
Пример 18. Найти несобственные интегралы:
а) ; б)
; в)
.
Решение
а) По определению имеем
Несобственный интеграл сходится и равен .
б)
.
Интеграл сходится.
в)
.
Интеграл расходится.
Кроме несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования в литературе рассматриваются несобственные интегралы от неограниченных функций. Предлагаем изучить этот материал самостоятельно.
Решение
Уравнение линий уровня
или
.
Приведём к виду . Это уравнение окружности с центром в точке (-1; 0) и радиусом
(рис.4). Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом
. Точка (-1; 0) – вырожденная линия уровня, соответствующая значению
.
![]() |
Рис. 4
Решение
а)
.
.
б) При фиксированном имеем показательную функцию
.
При фиксированном имеем степенную функцию
.
Упорядоченная пара частных производных или
функции
двух переменных обозначается символом
или
и называется градиентомфункции
двух переменных. Градиент функции двух переменных есть двумерный вектор.
Градиент функции
в точке
показывает направление самого быстрого роста функции
в точке
.
Пример 21. Для функции двух переменных :
а) построить линию уровня, проходящую через точку (1; 9);
б) найти градиент в этой точке;
в) построить градиент.
Решение
а) Найдём уровень , который равен частному значению функции
в точке (1; 9):
.
Уравнение линии уровня имеет вид
или
, или
, или
- гипербола
(рис. 5).
б) Найдём
,
,
,
,
.
в) Строим вектор выходящим из точки
. Конец вектора в точке
с координатами
,
.
![]() |
Рис. 5
Градиент всегда перпендикулярен линии уровня
, проходящей через точку
.
Решение
Решение
Найдём значение прибыли от реализации товара и
в объёмах
и
как разность между доходом от продажи
и издержками
.
.
Определим стационарные точки функции. Найдём частные производные:
,
.
Решим систему:
Точка - стационарная точка функции.
Найдём частные производные второго порядка:
Учитывая что , а
, определим:
- точка максимума. Найдём максимальное значение прибыли
.
Условный экстремум
Экстремум функции при условии, что
и
связаны уравнением
, называется условным экстремумом. Уравнение
называется уравнением связи.
Для решения задач на условный экстремум обычно используется метод Лагранжа.
Составим вспомогательную функцию
.
Функция называется функцией Лагранжа, а
- множителем Лагранжа.
Точка условного экстремума является точкой локального экстремума функции Лагранжа , её координаты должны удовлетворять уравнениям
Пусть - любое решение этой системы и
.
Если , то функция
имеет в точке
условный максимум, если
, то условный минимум.
Пример 24. Найти экстремум при условии
.
Решение
Функция Лагранжа имеет вид .
Найдём частные производные
.
Решим систему
- «подозрительная» точка.
Наёдем частные производные
Вычислим определитель
.
В точке функция
имеет условный экстремум
.
Метод наименьших квадратов
Пусть имеются данные наблюдений в точках
,
,
, …,
некоторой величины
и получены соответствующие значения
,
,
, …,
.
Необходимо подобрать функцию определённого вида , чтобы она по возможности наиболее точно отражала общую зависимость измеряемой величины
от параметров (координат) точек измерения
.
При обработке данных экономической статистики наиболее распространённым является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной .
Неизвестные параметры эмпирической функции и
необходимо определить так, чтобы значения функции
по возможности наименее всего отклонялись от измеренных значений.
Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений функции
в точках
,
,
, …,
от измеренных значений
,
,
, …,
.
Для нахождения точки минимума функции найдём частные производные этой функции по переменным
и
и приравняем их к нулю.
Коэффициенты и
определяются из системы так называемых нормальных уравнений.
Пример 25. В результате эксперимента для пяти значений аргумента получены пять значений величины
.
![]() | -2 | ||||
![]() | 0,5 | 1,5 |
Методом наименьших квадратов найти функциональную зависимость между и
в виде линейной функции
.
Решение
Значение параметров и
найдём из системы . Выполним необходимые вычисления:
Запишем систему:
Решим систему по формулам Крамера:
Значит ,
.
Функция имеет вид .
Основные понятия
Уравнение вида
,
где - независимая переменная;
,
- неизвестная функция и её производная,
называется дифференциальным уравнением первого порядка.
В случае, когда из уравнения можно выразить , оно имеет вид
.
У<