Аналогичным образом представляем вектор градиента давления

grad P= (2.3)

Тогда выражение (2.2) можно представить

`V = . (б)

Сравнивая выражения (а) и (б), получаем

. (2.4)

Уравнения (2.4), определяющие выражения для скоростей фильтрации флюида по закону Дарси в направлении координатных осей, называются уравнениями движения флюида.

Заметим, что в уравнениях (2.4) под давлением Р имеется в виду приведенное давление Р*=Р + gZ, где Р- давление пьезометрическое.

Для горизонтального пласта в уравнениях (2.4) давление Р есть давление пьезометрическое.

Перепишем уравнения (2.4) через пьзометрическое давление Р с учетом влияния силы тяжести, что имеет место при фильтрации в наклонных пластах.

; ; , (2.5)

где ось Z - направлена вертикально вверх .

В теории фильтрации оказывается удобным ввести функцию Ф(x,y,z,), называемую потенциалом скорости фильтрации и определяемую выражением:

. (2.6)

Тогда уравнения движения (2.5) с учетом (2.6) запишутся в виде:

, , . (2.7)

Таким образом, потенциаломскорости фильтрации называется функция Ф(x,y,z,), производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации V (x,y,z,).

С учетом (2.6) вектор скорости фильтрации (2.2) принимает вид:

`V = -grad Ф (2.8)

Выражения (2.7) и (2.8) представляют наиболее общую форму выражения линейного закона фильтрации и учитывают влияние силы тяжести на фильтрацию.

Уравнение неразрывности (сплошности)

Фильтрационного потока

Выведем уравнение неразрывности (сплошности) фильтрационного потока сжимаемого флюида в деформируемой пористой среде (самый общий случай). Для этого выделим в пористой среде элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рис. 5), причем длины ребер во много раз больше поперечных размеров поровых каналов.

Рис.5

В рассматриваемом общем случае неустановившегося движения сжимаемой жидкости (флюида) скорость фильтрации `V и плотность жидкости r являются функциями координат и времени, т.е.

`V = `V(x,y,z,t), r = r(x,y,z,t,).

Проекции на ось X массовых скоростей фильтрации в точках А и А_1, расположенных в центрах боковых граней ab и a₁b₁, соответственно равны

rV_x, и (rV_x)₁ = rV_x + .

Заметим, что в силу малости выделенного объема и его граней можно считать, что плотность r и скорость фильтрации `V распределены на гранях ab и a₁b₁ равномерно и равны значениям их в точках А и А₁ соответственно.

Масса флюида, поступающего в выделенный элемент через левую грань ab за малый промежуток времени dt, равна rV_x*dydzdt.

Масса флюида, вытекающего из выделенного объема через правую грань a₁b₁ за этот же отрезок времени dt, равна

.

Тогда изменение массы флюида в объеме выделенного элемента aba₁b₁ за отрезок времени dt за счет потока вдоль оси Х будет равна:

dM_x = [ (rV_x)₁ - (rV_x) ] dydzdt = dxdydzdt.

Рассматривая фильтрацию флюида в направлении осей Y и Z, получим аналогичные выражения для изменения массы в элементарном объеме за счет потока вдоль этих осей в виде:

dM_y = dxdydzdt, dM_z = dxdydzdt .

Тогда общее изменение (накопление) массы флюида в объеме выделенного элемента aba₁b₁ за время dt будет равно:

dM = dM_x + dM_y + dM_z ,

т.е. dM = - * dxdydzdt . (2.9)

С другой стороны, масса флюида, находящегося в рассматриваемом поровом объеме элемента aba₁b₁, равна

M = rmdxdydz ,

где m - коэф. пористости пласта.

Изменение массы флюида в этом же элементарном объеме aba₁b₁ за время dt можно записать так (объем элемента dxdydz фиксирован)

dM = . (2.10)

Приравнивая выражения (2.9) и (2.10) и сокращая их на dxdydzdt, получаем уравнение неразрывности фильтрационного потока.

. (2.11)

С физической точки зрения уравнение неразрывности (2.11) представляет собой уравнение материального баланса фильтрующейся жидкости (флюида) и выражает закон сохранения массы.

Заметим дополнительно, что уравнение неразрывности (2.11) справедливо только в том случае, когда внутри выделенного элемента пласта нет источников или стоков; это означает, что жидкость или газ движутся в продуктивном пласте без разрывов в сплошности потока, и что в поле скоростей фильтрации нет особых точек (например, скважин), в которых жидкость (газ) может «исчезать» или «появляться». При движении жидкостей (газов) в пласте к скважинам это уравнение (2.11) справедливо во всех точках пласта вне скважины.

Выражение в левой части уравнения (2.11) представляет собой дивергенцию вектора массовой скорости r и кратко записывается так:

.

Поэтому уравнение неразрывности (2.11) принимает краткую запись

. (2.12)