Полная вероятность и формула Байеса.

3.1. В коробке находятся детали изготовленные на трех заводах: 30% первого завода, 25% второго завода, 45% третьего завода. Вероятность того, что взятая деталь является качественной для первого завода равна 0,8, для второго завода -0,95, для третьего завода – 0,85. Наудачу выбрали из коробки одну деталь. Найти вероятность того, что эта деталь является качественной и вытянутая деталь является деталью изготовленной на втором заводе.

3.2. В течение месяца в больницу обратилось 400 человек, при чем из них страдали заболеванием К - 200 человек, заболеванием М - 150 человек , заболеванием Т-50 человек. Вероятность излечения в течение месяца от заболевания К равна 0,95, от заболевания М равна 0,8, от заболевания Т равна 0,7. Найти вероятность того, что выбранный наудачу пациент излечен от заболевания и вероятность того, что он страдал заболеванием Т.

3.3. Два стрелка произвели выстрел по мишени, вероятность того, что первый попадет по мишени равна 0,95, а второй попадет по мишени 0,8. При выстреле мишень была поражена. Найти вероятность того, что в мишень попал: а) первый стрелок, б) второй стрелок.

3.4. Три переводчика работают над одним и тем же текстом, выполняя работу в равных долях. Вероятность того, что при переводе допустить ошибку первый переводчик равна 0,2, второй равна 0,15, третий – 0,25. При проверке было выяснено, что была допущена ошибка. Найти вероятность того, что это сделал: а) второй переводчик, б) третий переводчик.

3.5. Электролампы изготавливают на четырех заводах. Первый завод изготавливает 30% из всех ламп, второй- 25%, третий – 15%, четвертый-30%. В продукции первого завода 15% брака, второго – 12% брака, третьего-20% брака, четвертого – 10% брака. Наудачу берут одну лампу. Найти вероятность того, что извлеченная лампа а) бракованная, б) не бракованная. Если лампа оказалась бракованной, найти вероятность того, что она изготовлена на четвертом заводе.

3.6. В двух одинаковых коробках лежат товары: в первой – два изделия первого сорта и одно второго, во второй – три изделия первого сорта и два второго. Наудачу берется коробка и из нее изделие. Определить вероятность того, что это изделие первого сорта и взято оно из второй коробки.

3.7. На факультете проверяют успеваемость студентов трех курсов. На первом курсе 15% отличников, на втором 7% отличников, на третьем 20% отличников. Наудачу выбирают одного студента. Найти вероятность того, что выбранный студент является отличником и учится на втором курсе.

3.8. В стойке находится 15 винтовок, из них 6 с оптическим прицелом. Вероятность попасть из винтовки с оптическим прицелом равна 0,75, без оптического прицела 0,7. Стрелок берет винтовку со стойки и производит выстрел. Найти вероятность того, что стрелок попал и вероятность того, что выстрел произведен из винтовки без оптического прицела.

3.9. В урне находится 20 мячей, из которых 13 синих и 7 красных. Вероятность того, что мяч сдутый равна 0,15. Наудачу извлекают один мяч. Найти вероятность того, что: а) извлеченный мяч не является сдутым и он красного цвета, б) извлеченный мяч сдут и он синего цвета.

3.10. Первый станок производит 35% процентов всех изделий, второй 25% , остальные детали производит третий станок. Количество бракованных деталей первого станка 5%, второго станка -7%, третьего станка – 4%. Наудачу выбрали одну деталь. Найти вероятность того, что: а) выбранная деталь является бракованной и произведена на втором станке, б) деталь не является бракованной и произведена на третьем станке.

3.11. Группа спортсменов состоит из 15 велосипедистов, 7 мотоциклистов, 11 легкоатлетов. Вероятность выполнить квалифицированную норму для велосипедиста 0,9, для мотоциклиста 0,75, для легкоатлетов 0,8. Найти вероятность того, что взятый наудачу спортсмен: а) выполнить квалифицированную норму, б) не выполнить норму и это будет легкоатлет.

3.12. В новую фирму на работу принимают 60% мужчин и 40% женщин. Статистика показывает, что вероятность выбора нового сотрудника с высшим образованием у мужчин равна 0,5, у женщин 0,9. Из принятых на работу сотрудников выбрали одного человека. Найти вероятность того, что: а) выбранный сотрудник имеет высшее образование и это мужчина, б) выбранный не имеет высшее образование и это женщина.

3.13. Первая бригада выполнила 60% всех изделий, вторая и третья бригада по 20%. Вероятность брака в изделии для первой бригады равна 0,1, для второй бригады 0,3, для третьей бригады 0,25. Наудачу выбрали одно изделие. Найти вероятность того, что выбранная деталь: а) не является бракованной и выполнена второй бригадой, б) бракованная и произведена первой или третьей бригадой.

3.14. Туристическая фирма разыгрывает 3 путевки на поездку в Египет, 4 путевки на поездку в Турцию, 2 путевки на поездку в Китай. Путевки разыгрываются между тремя группами людей. Найти вероятность того, что: а) путевку в Египет выиграет вторая группа, б) третья группа не выиграет путевку в Китай.

3.15. В школе был проведен контрольный диктант в трех 9 классах. В классе «А» на «4» и «5» написали 40% учеников, в классе «Б» на «4» и «5» написали 35% учеников, в классе «В» 50% учеников. Наудачу выбирают одного ученика. Какова вероятность того, что выбранный ученик а) написал на положительную оценку и является учеником класса «А», б) плохо написал диктант и он является учеником класса «В».

3.16. В коробке лежат 7 синих карандашей, 5 красных карандашей, 12 зеленых карандашей. Вероятность того, что карандаш в коробке сломан, равна 0,35. Наудачу вытаскивают один карандаш. Найти вероятность того, что вытянутый карандаш: а) сломан и он зеленого цвета, б) не сломан и он красного цвета.

3.17. Вероятность того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9;0,9. Найти вероятности того, что: а) возникший в машине сбой будет обнаружен, б) вероятность того, что обнаруженный сбой произошел в оперативной памяти.

3.18.В первой урне лежит 15 шаров, из них 7 белых, во второй урне 20 шаров, из них 10 белых, в третьей урне 12 шаров, из них 5 белых. Человеку завязали глаза, и он наугад выбирает любой шар из любой урны. Найти вероятность того, что: а) взяли белый шар и он из второй урны, б) вытянутый шар не является белым, и вытянут он из третий урны.

3.19. На полке стоят учебники, из них 10 учебников математики, 7 учебников русского языка, 5 учебников истории. Вероятность того, что учебник в переплете 0,8. Ученик наудачу выбирает учебник. Найти вероятность того, что данный учебник является: а) учебником истории и он в переплете, б) учебником математики и он не в переплете.

3.20. На заводе, изготавливают болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья- 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5% для первой машины, 4%-для второй, 2%-для третьей. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный. Найти вероятность того, что дефектный болт был произведен на первой или второй машине.

3.21. При разрыве снаряда образуются осколки трех видов: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний- с вероятностью 0,2 и мелкий – с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятность того, что эта пробоина причинена: крупным, средним, мелким осколком.

3.22. Имеется три колоды в 32 карты, две – в 36 и одна в 52. Выбираем колоду и из нее одну карту. Какова вероятность того, что вынутая карта окажется тузом.

3.23. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина.

3.24. В магазине в продаже имеется яблоки, которые поставляют 3 совхоза, где 30% всех яблок собраны в первом совхозе, 25% -во вором, 45%-в третьем. Вероятность того, что купят яблоки перового совхоза равна 0,85, второго 0, 7, третьего – 0,9. Покупатель наугад выбирает килограмм яблок. Какова вероятность того, что купленные яблоки привезли из второго совхоза.

3.25. На конкурс были отосланы сочинения, написанные учениками 9-11 классов, где 30% сочинений учеников 9 класса, 20% - учеников 10 класса, 50% - учеников 11 класса. Вероятность того, что сочинение ученика 9 класса будет принято 0,55, для ученика 10 класса – 0,7, для ученика 11 класса – 0,9. Наудачу выбрали сочинение. Найти вероятность того, что: а) выбранное сочинение будет принято и написано оно учеником 10 класса, б) выбранное сочинение будет не принято и оно написано учеником 11 класса.

3.26. В сборочный цех завода детали поступают из двух цехов: из первого – 70%, из второго – 30%, при чем 10% деталей из первого цеха и 20% -из второго, отличного качества. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет отличного качества.

3.27. На сборку поступают детали с четырех автоматов, производительности которых пропорциональны числам 4,3,2,1. Вероятность брака на этих автоматах соответственно 0,001; 0,0025; 0,002; 0,005. Найти вероятность того ,что взятая наудачу деталь: а) оказалась стандартной и она произведена на втором станке, б) оказалась нестандартной и она произведена на четвертом станке.

3.28. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщения «точка» и 1/3 сообщения «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречается в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка», б) принят сигнал «тире».

3.29.Две машинистки печатали рукопись. Первая напечатала 1/3 всей рукописи, вторая- остальное. Вероятность того, что первая машинистка сделает ошибки равна 0,15, для второй – 0,1. При проверке были обнаружены ошибки. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.

3.30. В электрическом приборе 3 элемента. Вероятность того, что первый элемент выйдет из строя равна 0,2, второй – 0,15, третий – 0,25. Вероятность того, что ошибка будет обнаружена для первого элемента равна 0,5, для второго элемента 0,65, для третьего элемента 0,7. В электрическом приборе произошел сбой. Найти вероятность того, что: а) он будет обнаружен, б) обнаруженный сбой произошел в третьем элементе.

3.31. В сад привезли на посадку привезли саженцы 3-х видов груш. Первый вид составляет 35% всех саженцев, второй – 20% всех саженцев, третий -45% . Вероятность того, что примется первый вид равна 0,95, второй вид – 0,85, третий вид -0,8. Наудачу выбрали один из саженцев. Найти вероятность того, что: а) данный саженец примется и он первого вида, б) выбранный саженец не примется и он третьего вида.

3.32. В игре учувствуют 4 команды. Вероятность выиграть конкурс у первой команды 0,7, у второй – 0,85, у третей – 0,9, у четвертой -0,75. Проведенный конкурс был выигран. Найти вероятность того, что выиграла вторая команда.

3.33. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй-0,1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго -3000.

3.34. Имеется 5 партий радиоламп: 3 партии по 8 штук, в каждой из которых 6 стандартных, и 2 партии по 10 штук, в каждой из которых 7 стандартных и 3 нестандартных. Из одной, взятой наудачу, партии случайным образом выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что эта деталь будет стандартной.

3.35. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод изготавливает 45% общего количества электроламп, второй-40%, третий-15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго -80%, третьего- 90%. В магазины поступает продукция трех заводов. Какова вероятность, что купленная в магазине лампа окажется стандартной.

Индивидуальное домашнее задание №4

Формула Бернулли.

4.1.Вероятность всхожести семян пшеницы составляет 0,75. Найти вероятность того, что из 10 взятых наудачу семян взойдет: а) семь семян, б) не более трех семян, в) более 8 семян.

4.2.Вероятность рождения мальчика в семье равна 0,55. Наудачу выбрали 8 семей. Найти вероятность того, что: а) у пяти семей родился мальчик, б) мальчики родятся не менее чем у трех семей, в) у четырех семей родятся девочки.

4.3.Вероятность попасть в мишень при выстреле равна 0,8. Произведено 9 выстрелов. Найти вероятность того, что из этих выстрелов поразили мишень а) пять выстрелов, б) не более четырех, в) не менее шести.

4.4.Вероятность того, что в коробку положили бракованную деталь равна 0,2. В коробке лежат 12 деталей. Найти вероятность того, что в коробке находится: а) шесть бракованных деталей, б) не более трех, в) более десяти.

4.5.Мальчик подбросил монету 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпал: а) 4 раза, б) не менее 5 раз, в) менее 3-х раз.

4.6. Вероятность выиграть партию игры у команды равна 0,6. Сыграно 9 партий. Найти вероятность того, что в сыгранных партиях команда выиграет: а) четыре игры, б) не более 5 игр, в) не менее 2-х игр.

4.7.Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 2/7. Покупатель приобрел 8 билетов. Найти вероятность того, что среди них а) три выигрышных, б) все невыигрышные, в) менее трех выигрышные.

4.8.Вероятность изготовить стандартную деталь равна 0,9. За час изготовили 15 деталей. Найти вероятность того, что среди этих деталей а) две нестандартные, б) более 3-x стандартные, в) не менее 12 стандартных деталей.

4.9.Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта равна 0,3. Найти вероятность того, что из десяти купленных телевизоров потребует ремонта: а) 4 телевизора, б) не один не потребует, в) потребует более 8 телевизоров.

4.10. В партии деталей 5% брака. Наудачу из этой партии выбрали 8 деталей. Какова вероятность того, что из выбранных деталей: а) 3 бракованных, б) все годные, в) менее двух бракованных.

4.11. Вероятность того, что при перевозке будет испорчено изделие, равна 0,2. После перевозки груза наудачу выбирают пять изделий. Найти вероятность того, что из этих изделий будет испорчено: а) два изделия, б) более трех изделий, в) менее двух изделий.

4.12. Вероятность вылечится от гриппа в течение недели, равна 0,75. В больницу обратились 7 пациентов. Найти вероятность того, что из них вылечится: а) 5 человек, б) менее пяти человек, б) более трех человек.

4.13. В отделе, состоящим из 9 человек, разыгрывают путевки в санаторий. Вероятность выиграть путевку равна 0,4. Найти вероятность того, что путевку выиграют: а) три человека, б) менее четырех человек, в) более семи человек.

4.14. Купили 12 саженцев яблок. Вероятность того, что саженец приживется равна 0,85. Найти вероятность того, что из этих саженцев приживется: а) 10 штук, б) более 9 штук, в) менее 3-х штук.

4.15. Студент знает 50 ответов на 60 вопросов. На собеседовании он вытягивает 5 вопросов. Найти вероятность того, что он знает: а) 4 вопроса, б) более трех вопросов, в) менее трех вопросов.

4.16. Вероятность того, что студент сдаст экзамен на «отлично» равна 0,25. Найти вероятность того, что из 8 отобранных студентов на «отлично» сдадут: а) 3 человека, б) менее 4-х человек, в) не менее шести человек.

4.17. В саду посадили 7 сортов роз. Вероятность того, что примется один из сортов роз равна 0,85. Найти вероятность того, что примется: а) 5 сортов, б) более трех сортов, в) менее четырех сортов.

4.18. Радист послал 10 сигналов, вероятность того, что сигнал будет принят 0,55. Найти вероятность того, что будет принято: а) семь сигналов, б) более шести сигналов, в) не более 3-х сигналов.

4.19. 70 % поступивших в университет оканчивают его через пять лет. Какова вероятность того, что из 30 первокурсников его окончат: а) 23 человека, б) более 25 человек, в) не более 15 человек.

4.20. При аварии должны сработать 4 сигнализатора. Вероятность того, что любой сигнализатор сработает, равна 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) три сигнализатора, б) более двух сигнализаторов, в) не менее трех сигнализаторов.

4.21. Рекламная компания отсылает по почте свои приглашения. Вероятность того, что на приглашение ответят 0,3. Найти вероятность того, что из 10 на приглашение ответят: а) 7 человек, б) менее 5 человек, в) более 8 человек.

4.22. В ящике находится 10 деталей завода «Импульс». Вероятность того, что деталь изготовленная заводом бракованная равна 0,1. Найти вероятность того, что среди этих деталей бракованных будет: а) три, б) менее 5, в) более восьми.

4.23. В коробке находятся цветные карточки. Вероятность вытянуть карточку зеленого цвета равна 0,3, а желтого 0,2. Из коробки вытянули восемь карточек. Найти вероятность того, что из них может быть: а) две зеленые и две красные, б) не более 3 красных, в) не менее шести зеленых.

4.24. В коробке находится шарики двух цветов: белые и синие. Вероятность вытянуть синий шар равна 0,4. Из коробки вынули 7 шариков. Найти вероятность того, что из них: а) более четырех белые, б) три синих, в) менее 5 синих.

4.25. Бабушка посадила рассаду помидоров 8 разных сортов. Вероятность того, что любой сорт примется равна 0,9. Найти вероятность того, что среди посаженных сортов принялось: а) 4 сорта, б) более пяти сортов, в) менее трех сортов.

4.26. Вероятность того, что через контрольный пункт проедет грузовая машина, равна 0,4. В течение часа через контрольный пункт проехало 10 машин. Найти вероятность того, что среди них было: а) пять грузовых, б) не менее семи грузовых, в) не более трех грузовых.

4.27. В розыгрыше призов участвуют 12 человек, при чем вероятность выиграть приз равна 0,25. Найти вероятность того, что из них приз выиграют: а) четыре человека, б) не более пяти человек, в) менее трех человек.

4.28. Мастер производит замер изделий. Вероятность того, что взятое изделие по размерам будет больше нормы равна 0,15. Мастер выбрал на проверку 10 изделий. Найти вероятность того, что среди них будет больше нормы: а) три изделия, б) более восьми, в) менее четырех.

4.29. В пионерском лагере детский врач взвешивает 10 детей из первой группы. Вероятность того, что вес ребенка соответствует нормативным показателям, равна 0,8. Найти вероятность того, что вес соответствует норме: а) у пяти детей, б) не менее чем у шести детей, б) более чем у восьми детей.

4.30. Вероятность того, что абитуриент поступить на нужный факультет, равна 0,65. Найти вероятность того, что из 15 абитуриентов, которые подали заявление на данный факультет, поступит: а) семь человек, б) более 12 человек, в) менее четырех человек.

4.31. Вероятность того, что ученик выполнит полностью домашнее задание, равна 0,7. Наудачу из класса выбирают 5 человек. Найти вероятность того, что из них домашнее задание выполнили: а) три человека, б) менее трех человек, б) более четырех человек.

4.32. Вероятность того, что спортсмен выполнил спортивный норматив, равна 0,8. Наудачу из команды отобрали 7 человек. Найти вероятность того, что норматив выполнили: а) 5 человек, б) более четырех человек, в) менее трех человек.

4.33. В магазин на продажу поступили 10 видов конфет. Вероятность того, что любой сорт будет продан полностью, равна 0,55. Найти вероятность того, что из всех конфет будет продано: а) 5 сортов, б) более семи сортов, в) не более трех сортов.

4.34. Вероятность всхожести семян огурцов равна 0,6. Найти вероятность того, что из 5 выбранных семян взойдет: а) четыре, б) более трех семян, в) менее трех семян.

4.35. Школьники написали контрольный диктант. Вероятность того, что ученик получит удовлетворительную оценку, равна 0,75. Наудачу отобрали 10 работ. Найти вероятность того, что из этих работ удовлетворительную оценку получат: а) семь работ, б) не более четырех работ, в) более восьми работ.

Индивидуальное домашнее задание №5