Нормальный закон распределения вероятностей.

Нормальный закон распределения ( закон Гаусса ) играет исключительно выгодную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это наиболее часто встречающийся в практике закон распределения.

Главная особенность – он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

В теории вероятностей существует т.н. центральная предельная теорема из которой следует, что сумма большого числа независимых ( или слабо зависимых )

случайных величин подчиненных каким угодно законом распределения ( при условии что влияние каждой из них на всю сумму ничтожно мало), приближённо подчиняется нормальному закону.

Примеры: Ошибка измерения; может быть представлена как сумма весьма большого числа сравнительно малых слагаемых – элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависимый от условия окружающей среды.

Каким бы законом не подчинялись отдельные элементарные ошибки, сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, слагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль. Если это условие не выполняется и одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию резко превалирующая другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит своё влияние на сумму и определит в основных чертах её закон распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности всегда.

Можно доказать что m_x – математическое ожидание σ_х – среднее квадратичное отклонение величины Х.

Кривая распределения имеет симметричный холмообразный вид..

Максимальная ордината соответствует точке х = m_x при х ± ∞ кривая асимметрически приближается к оси абсцисс.

Т.о. центром симметрии распределения является центр рассеивания m_x – изменение знака в формуле для плотности на обратный не меняет величины f (x).

Если изменять математическое ожидание, кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы.

Т.о. мат. ожидание характеризует положение распределения на оси абсцисс.

σ_х – среднеквадратическое отклонение характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна σ_х , при увеличении σ_х максимальная ордината уменьшается т.к. плоскость кривой распределения равна единице, то при увеличении кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс, напротив, при уменьшении σ_х кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков и становится более иглообразной.

σ₃ > σ₂ > σ₁

m_x = 0