Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется символическим методом. Сущность символического метода состоит в том, чтобы, используя комплексные числа, перейти от составления и решения интегро-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений к составлению и решению алгебраических уравнений для функций оператора комплексной плоскости.

В курсе электротехники используются следующие формы записи комплексного числа:

а) алгебраическая Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ;

б) показательная Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ;

в) тригонометрическая Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru .

Здесь Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru – действительная часть комплексного числа Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ; Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru – мнимая часть комплексного числа Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ; Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru – модуль комплексного числа Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ; Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru – аргумент комплексного числа Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ; Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru – мнимая единица или оператор поворота на угол p/2=900 (умножение на +j сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол 900, а умножение на Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru – к повороту вектора на угол 900 по часовой стрелке).

Комплексное число изображается в системе координат (+1; +j) следующим образом (рис. 2.3):

Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru

Рис. 2.3. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости

Действия над комплексными числами.

а) С использованием алгебраической формы записи комплексного числа (пусть Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru =(a1+jb1), Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru =(a2+jb2)):

- сложение: Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru + Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru =(a1+jb1)+(a2+jb2)=(a1+a2)+j(b1+b2)= Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ;

- умножение: Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru × Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru =(a1+jb1)×(a2 +jb2)=(a1a2–b1b2)+j(a1b2+a2b1)= Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ;

- деление: Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ,

где число Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru – комплексно-сопряженное числу Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru (отличаются знаком мнимой части). Произведение комплексно-сопряженных чисел – действительное число, равное квадрату их модуля: Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru .

б) С использованием показательной формы комплексного числа (пусть Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru , Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ): в этом случае удобнее производить операции умножения, деления, возведения в степень, чем в случае использования алгебраической формы.

- умножение: Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ;

- деление : Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ;

- возведение в степень: Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ;

- извлечение корня: Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru .

Различные формы записи комплексного числа объединяются между собой при помощи формулы Эйлера:

Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru .

Мгновенное значение синусоидальной функции есть мнимая часть изображающей ее комплексной амплитуды, умноженной на e+jwt:

a(t)=Im[ Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru mejwt]=Im[Amej(wt + j)]=Amsin(wt+j).

Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Временная и комплексная записи Функция Производная функции Интеграл от функции
Запись во временной области a=Amsin(wt+y) Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru wAmcos(wt+y) Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru cos(wt+ y)
Комплексная функция времени Amej×(wt + y ) wAmej×(wt + y + p / 2) Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru ×Amej×(wt +y - p /2)
Комплексная амплитуда Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru m = A m ejy jw Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru m Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru m
Комплексное действующее значение Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru = A m ejy jw Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru


Например, для тока i, падения напряжения на активном сопротивлении uR, индуктивности uL и емкости uC соответствующие комплексные амплитуды записываются следующим образом:

Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока. - student2.ru

(здесь стрелка ® означает знак соответствия).

Наши рекомендации