Аналитический способ решения
При расчете многостержневых конструкций (ферм) необходимо ввести обозначения стержней и узлов. Обычно стержни обозначают цифрами, узлы (места соединения двух или нескольких стержней) – буквами. Так на рис.4 узлы обозначены буквами А, В, С, D, Е ; стержни цифрами – 1,2,3,4,5,6,7. Порядок обозначения стержней и узлов может быть произвольным. Определение сил в многостержневых конструкциях производится последовательным вырезанием узлов. Рассматривая узел как систему сходящихся сил, пользуясь уравнениями равновесия этой системы ∑Х=0, ∑Y=0, необходимо помнить, что, решая эти уравнения, можно определить только две неизвестные силы. Это условие определяет порядок вырезания узлов. Первым рассматривается узел, в котором сходятся два стержня. Таким на рис.4 является узел С. Прежде чем приступить к расчетам, конструкцию необходимо представить в виде расчетной схемы.
Рис.4
Покажем расчетную схему узла С на отдельном рисунке ( рис.5). Она должна быть вычерчена аккуратно и четко с нанесёнными на неё силами, с указанием углов. Изображенная на рис.5 расчетная схема узла С получена следующим образом.
Вырезаем узел С, для чего мысленно отбрасываем связи, заменив действие стержней реакциями R1 и R2 .Реакция стержня направлена по его оси. Приложим к узлу С действующие на него силы F1, R1 и R2. Из них: F1- активная сила, внешняя нагрузка, известная по модулю и направлению;
R1 и R2- численно неизвестные реакции связей, направленные вдоль стержней, но пока неизвестно в какую сторону.
При расчетах ферм принято предполагать, что стержень растянут, в таком случае реакция направлена от рассматриваемой точки. Если же в результате решения та или иная из них получится отрицательной , то это значит, что предположенное направление данной реакции неправильное и, следовательно, стержень не растянут, а сжат. Для равновесия узла необходимо, чтобы алгебраическая сумма проекций всех приложенных к нему сил на любые две непараллельные оси порознь равнялись нулю.
Напоминаем, что проекция силы на ось равна взятому с соответствующим знаком произведению силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью проекций.
Направим ось Х по реакции R1, а ось Y - перпендикулярно ей. Такое положение осей позволяет получить одно из уравнений равновесия с одним неизвестным, что облегчит решение полученной системы уравнений. Прежде чем составить уравнение равновесия, нужно нанести на расчетную схему все необходимые для проецирования углы.
Угол α между реакциями R1 и R2 находим, исходя из геометрических размеров заданной конструкции (рис.4 а).
Рис.5 Рис.6
Из ∆ АКС следует: tg β =АК/КС =0.5/4 = 0.125 и β=70.
Из ∆ ВКС следует : tg (β+α)= ВК/КС=3/4= 0.75 и β+α=370.
Таким образом угол α=300
Угол между F1 и осью Y равен углу β=70 как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Составим уравнения равновесия системы сил, сходящихся в узле С:
∑Х=0 - R1 - R2cos 300 - F1cos 830 = 0
∑Y=0 - F1cos 70- R2cos 600 =0
Из второго уравнения определяем R2 = - F1cos 70/ cos 600 = -10 . 0.99/0.5 = -19.8 кН.
Из первого уравнения определяем R1 = - R2cos 300 - F1cos 830 = -(-19.8) . 0.87 – 10 . 0.12= =16кН.
Знак минус у значения R2 показывает, что на самом деле стержень 2 сжат силой 19.8 кН.
Силы в стержнях соответственно равны N1= R1=16 Кн (растяжение),
N2= R2=19.8 кН (сжатие).
Для определения сил в стержнях 3 и 4 вырезаем узел D. Расчетная схема узла D изображена на рис.6. Направление неизвестных реакций R3 и R4 принимаем от узла, считаем, что стержни растянуты. Силу R2 =19.8 кН направляем к узлу, так как из предыдущего расчета известно, что стержень 2 сжат. Направим ось Х по реакции R4 , ось Y – перпендикулярно ей.
Угол между горизонтом и направлением силы R4 равен (β+α)=370 (см. рис.4 а). Угол, образуемый осью Y и силой R3, - также 370. Рассматривая узел в состоянии равновесия, составим уравнение проекций всех действующих сил на оси :
∑Х=0 - R4 - R2 + R3 cos 530 = 0
∑Y=0 R3 cos 370 =0
Из второго уравнения R3 =0. Из первого уравнения R4 = - R2 = - 19.8 кН
В результате N3= R3=0 (стержень не работает), N4= R4=19.8 кН (стержень сжат).
Графический способ решения
Определим этим способом силы в стержнях 1 и 2. Из трех сил, действующих на узел С, известна сила F1 по модулю и направлению. Выбераем масштаб сил, например 5кН в одном сантиметре и строим силовой многоугольник ( рис.4б ). Из произвольной точки а в принятом масштабе откладываем отрезок аb, равный силе F1=10кН. Из начала и конца отрезка аb проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2, до их пересечения в точке с. Получаем замкнутый силовой треугольник аbс, в котором вектор аb = F1, вектор bс = R2 и вектор са= R1. Измерив длины сторон bс и (см) и умножив на масштаб 5 кН/см , находим силы в стержнях 1 и 2 : N1= R1=16 Кн , N2= R2=19.8 кН.
Мысленно перенеся направление найденных реакций на соответствующие стержни схемы конструкции, видим, что сила R1 направлена от узла, а это значит, что стержень растянут; сила R2 направлена к узлу и, следовательно, стержень сжат.
Алгоритм и пример решения задачи №2
Требуется определить значения опорных реакций балок двухопорной или жестко защемлённой.
Двухопорная балка(рис.7a)
Обозначим шарнирно-неподвижную опору А, шарнирно-подвижную В. Изобразим расчетную схему балки (рис.7б). Освобождаем балку от связей, заменив их действие на балку опорными вертикальными реакциями RA и RВ, поскольку в данной задаче, кроме сосредоточенного момента, внешние нагрузки только вертикальные. Для удобства расчета равномерно распределённую нагрузку заменяем равнодействующей Q, которая равна произведению интенсивности q (kH/m) на длину участка её приложения , т.е.
Q = q . l = 10 . 3 = 30 кН. Линия действия равнодействующей проходит через середину участка, занятого равномерно распределённой нагрузкой.
На расчетной схеме балки (рис.7б) должны быть проставлены расстояния от сил до каждой из опор. Особое внимание обратите на расположение распределённой нагрузки на балках с консолями, чтобы избежать ошибок, возникающих при определении плеча силы Q. Значение сосредоточенного момента в любое уравнение равновесия входит с тем знаком, который ему приписывается с учетом направления действия.
Рис.7 Рис.8
Для двухопорных балочных систем при определении опорных реакций самыми рациональными являются уравнения моментов относительно опор А и В. Составим эти уравнения: ∑ М А = Q . b + M – RB ( b+c) + F (b+c+d) = 0;
RB = ( Q . b + M + F ( b+c+d)) / ( b+c) = (30 . 1 + 5 + 15 . 4) / 3 = 31,7 kH;
∑ М B = RA ( b+c) - Q . c + M + F . d = 0;
RA = ( Q . c - M - F . d) / ( b+c) = (30 . 2 - 5 - 15 . 1) / 3 = 13,3 kH;
Так как определение реакций – первый этап расчета балки на изгиб, то его следует считать особенно ответственным. Поэтому во избежание ошибок при вычислении необходимо производить проверку найденных значений реакций. Составим уравнение проекций всех сил на ось Y.
∑ Y = RA - Q + RB - F = 13,3 – 30 + 31,7 - 15 = 45 – 45 = 0;
Если это равенство не удовлетворяется, следовательно, при определении опорных реакций была допущена ошибка.
Консольная балка (рис.8a)
балка с защемлённой опорой называется консолью. Защемляющая неподвижная опора лишает балку всех трех степеней свободы: линейных перемещений вдоль осей Х и Y и возможности поворота в плоскости этих осей. Соответственно в защемлении появляются три неизвестные реакции: RAХ и RАУ и реактивный момент заделки М А (рис.8а). Для их определения наиболее удобными являются следующие уравнения равновесия:
1. Уравнение моментов сил относительно точки заделки М А= 0 – для определения реактивного момента М А, так как силы RAХ и RАУ , приложенные к точке А, в это уравнение не войдут ( их моменты относительно точки А равны нулю).
2. ∑Х=0 – для определения горизонтальной реакции RAХ.
3. ∑Y=0 – для определения вертикальной реакции RАУ.
По расчетной схеме балки (рис.8б) составим уравнения равновесия
∑ М А = - М А + F . а + М + Q ( а + b) = 0;
Отсюда М А = F . а + М + Q ( а + b) = 8 . 0,5 + 10 + 2 . 1,5 = 17 кНм.
Значит М А> 0 ; следовательно, принятое направление момента правильное.
Из уравнения ∑Y= RАУ - F - Q = 0 находим RАУ = F + Q = 8+2=10 кН.
Из уравнения ∑Х=0 следует, что RAХ = 0.
Для проверки решения удобно составить уравнение моментов относительно произвольно взятой точки, например В :
∑ М B = - М А + М + RАУ . l - F . (b + c) - Q . c = - 17 + 10 + 10 . 2 – 8 . 1.5 – 2 . 0.5 = - 30+30=0.