Апостериорная оценка точности рассчитанных координат
В априорной оценке использовалась информация о точности, полученная по результатам предыдущих измерений, а в апостериорной оценке участвуют текущие измерения, по которым была вычислена вероятнейшая точка.
Допустим, что ковариационная матрица погрешностей измерений D известна с точностью до постоянного множителя т2:
где матрица К— известна, а величина т2 — неизвестна.
Иными словами, известны относительные, а не абсолютные значения матрицы D. С учетом этого рассмотрим систему нормальных уравнений
, получим: |
Подставив в уравнение вместо D~' выражение
Величина т2 (дисперсия наблюдения с единичным весом) сокращается и решение, в итоге, не зависит от абсолютной величины элементов ковариационной матрицы измерений D. Матрицу К~' также называют «весовой» и обозначают через W, а т2 - дисперсией наблюдения с единичным весом. Если т не выносилась из D, то весовой будет просто D~'.
Рассмотрим величину, представляющую собой обобщенную (взвешенную) остаточную сумму квадратов уклонений:
Здесь М — операция взятия математического ожидания, которую упрощенно можно рассматривать как отыскание среднего значения.
Рассмотрим выражение VTD~lУ пока без операции взятия математического ожидания:
V^'D-'V = V'D-^AU - ААХ) = V^-'^U - V7 D~'АЬХ
Последнее слагаемое равно нулю. Это видно из условия (2.17) и рис. 2.6, поскольку векторы Vr D'1 и ААХ ортогональны, а скалярное произведение таких
векторов равно нулю. Тогда
Кроме того,
Т 1 Т -Т Т -1 Т 1 'Т Т -1 V1 D'^AU = (•AU1 - AX1 A1 )D 'W = AC/7 D l &U - &X1 A1 D ' MJ .
т f Во втором слагаемом произведение A D~ Ш представляет собой правую часть
системы нормальных уравнений (2.19). Записав вместо нее левую часть этой
системы (ATD~1A}^X, окончательно получим формулу, по которой можно рассчитать значение квадратичного критерия (остаточную сумму квадратов невязок):
Здесь /\U - вектор, рассчитанный по исходным данным Uu - Uc, и первое слагаемое в правой части дают значение остаточной суммы в начальной (счислимой) точке, а второе — уменьшает это значение за счет смещения к оптимальной точке на величину д^ .
С учетом взятия операции математического ожидания (2.33) справедливо выражение:
Распишем второе слагаемое:
С учетом выражения (2.35) получим
Несмещенная оценка т2 запишется в виде выражения
Тогда апостериорную оценку ковариационной матрицы погрешности результатов получим следующим образом:
или апостериорная ковариационная матрица погрешностей координат рассчитывается через априорную матрицу так:
Пример. Определить координаты места судна и поправку компаса по измерениям четырех пеленгов. Рассчитать элементы априорного и апостериорного эллипсов погрешностей координат и средние квадратические погрешности обсервации.
Задачу решить на плоскости в прямоугольных координатах согласно значениям, представленным в табл. 2.2, используя два последовательных приближения.
Окончательный ответ дать в географической системе координат.
Счислимые координаты: х = 8,0 миль; у = 4,4 миль.
Таблица 2.2
Координаты ориентиров | Обсервованные пеленги ориентиров | СКП измерения пеленгов | |
^ai | Ул | П" | 7»° |
16,3 | 7,9 | 25,5 | 0,2 |
12,0 | 9,8 | 56,6 | 0,2 |
5,4 | 11,8 | 112,6 | 0,2 |
14,2 | 3,0 | 350,1 | 0,2 |
Решение Первая итерация
1. Запишем навигационную функцию пеленга (1.10) с учетом поправки Z:
из которых |
2. Рассчитаем производные на счислимые координаты
составим матрицу А.
3. По навигационной функции рассчитаем счислимьге пеленги по счислимьм координатам и координатам навигационных ориентиров, полагая поправку Z=0 на первой итерации.
4. Вычислим вектор свободных членов Д?7, а также вектор &Хи вектор координат Ху, и ковариационную матрицу погрешностей координат N. Далее приведены вычисления:
/ / Пд1 = +0,399061 , Пс2 = +0,933248,М1сз = +1,908675, П^ = +6,061103
Затем из априорной ковариационной матрицы N выбираем верхний левый блок ni, который определяет точность координат х,у и по формулам (2.26) - (2.29), находим элементы априорного эллипса погрешностей обсервации и СКП М.
Элементы априорного эллипса погрешностей обсервации из N':
Элементы апостериорного эллипса погрешностей обсервации из верхнего левого блока матрицы (2.36):
Вторая итерация:
\. Обсервованные координаты принимаем за счислимые, т.е. Хс = Ху, и
повторяем вычисления по формулам ( 2.20) и (2.26) - (2.29) с расчетом оценки точности координат.
определяем |
2. Учитывая принятые обозначения, а именно
географические координаты при известных географических координатах счислимой точки С (©с, ^с)-'
^о^с+ Aw cos (pm, где <pm = (фс + <ро)/2 - средняя широта
Графоаналитический расчет
1. На листе миллиметровой бумаги строим систему координат с началом в счислимой точке и выбираем масштаб для прокладки (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Графоаналитический расчет координат места судна
2. Производим прокладку линий положения, используя формулу Дп, =—'-, и Si
получаем фигуру погрешностей координат.
3. Определяем приращения координат каждой из вершин фигуры погрешностей ау,/, Ауу.
4. Каждая точка пересечения двух линий положения Оу имеет вес, который можно рассчитать по следующей формуле:
где My — средняя квадратическая погрешность точки по двум линиям положения. 5. Находим средневзвешенное значение приращений координат относительно счислимой точки:
6. Находим обсервованные прямоугольные координаты, используя формулу (2.8), а также географические координаты по формулам, приведенным во второй итерации.
7. Для сравнения сгавим точку по первой итерации на диаграмму графоаналитического расчета.