Априорная оценка точности рассчитанных координат

Априорная оценка точности измеряемых навигационных параметров основана на многочисленных статистических исследованиях, которые происходили до конкретной обсервации. В качестве основного параметра для априорной оценки точности измеряемых величин применяется средняя квадратическая погрешность измеряемого навигационного параметра т.

Особенностью определения координат является тот Аакт, что измерения -косвенные, т.е. измеряются навигационные параметры и допущенные погрешности затем переносятся в погрешности координат. Рассмотрим процедуру переноса погрешностей измерений в погрешности координат на примере ОМС по двум измерениям.

В этом случае линеаризованная система принимает вид: ;

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Так как измерения имеют погрешности, то перепишем систему в виде

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Тогда

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

откуда

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Формирование ковариационной матрицы погрешности измерений выполняется по формуле

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

где D - обозначение ковариационной.

Для двумерного случая выражение (2.24) выглядит так:

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

а операция математического ожидания, выполненная с матрицей 8U6U , превраща­ет ее в ковариационную матрицу D,

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

На главной диагонали D находятся дисперсии .измеряемых навигационных параметров, а вне диагонали - ковариационные моменты, которые характеризуют статистическую связь между измерениями.

Аналогично определим ковариационную матрицу погрешностей искомых параметров, используя правила матричного исчисления (ABYl=B~\A~\ и (Д-1)-^^)-1.

Получим

N = D(A^) = D(SXSX7) = D^A-'SU^A^SUY] = (A'D^A)^. (2.25)

В дальнейшем при написании ковариационных матриц, где это не вносит двузначности, будем опускать аргумент при D.

Для двумерного случая ковариационная матрица N имеет вид:

где п 11 - дисперсия погрешностей широты, n-г.г - дисперсия погрешностей отшест-вия, ni2 = пг\ - ковариационные моменты.

Вся информация о погрешностях содержится в матрице N. В судовождении часто используется ее геометрическая интерпретация в виде эллипса погрешностей. Установим- связь между элементами матрицы N и параметрами эллипса:

полуосями и углом ориентации.

В общем случае такая задача рассматривалась Г. Хоттелингом в 1933 г. Ученым было доказано, что для ковариационной матрицы существуют . векторы, направлениям которых соответствуют максимальные и минимальные значения рассеивания (погрешностей). Эти значения соответствуют собственным числам матрицы. Направления собственных векторов, указывающие на направление максимального и минимального рассеивания (дисперсии), соответствуют направлениям полуосей эллипса. Собственные числа - это экстремальные значения дисперсий. Для перехода к линейным величинам - полуосям эллипса (гиперэллипса для /7-мерного пространства), необходимо извлечь квадратный корень.

Рассмотрим эту задачу для двумерного случая, т.е. для плоскости. Физика и геометрия собственных чисел и векторов заключается в том, что результатом

"<

умножения исходной матрицы на собственный вектор будет вектор, коллинеарный собственному, по длине отличающийся в число раз, пропорциональное собственному значению. Математически это запишется в виде:

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Поставим численный эксперимент, который прояснит эту запись. Выполним умножение Nz, где в качестве z будем выбирать единичный вектор с направлением У от 0 до 360°. Формирование компонент единичного вектора


Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

выполним по формуле:

В качестве примера возьмем матрицу


Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Рис. 2.4. Результат умножения N -z

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

В результате умножения матрицы N на z конец вектора р опишет эллипс (рис. 2.4). Процедуру умножения можно рас­сматривать как оператор, преобразую­щий единичный вектор z. После пере­множения вектор изменит направление и длину. Результаты такого перемно­жения с дискретностью в один градус


- компоненты вектора р (значения Х и У) приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

У ^1 Y X R
8,13 21,000 3,000 21,213
8,48 21,049 3,139 21,282
8,83 21,092 3,277 21,345
9,18 21,128 3,415 21,402
9,53 21,158 3,551 21,454
9,87 21,182 3,686 21,500
10,22 21,199 3,820 21,540
10,55 21,209 3,953 21,574
10,90 21,213 4,084 21,603
11,24 21,211 4,215 21,625
11,58 21,202 4,344 21,642
11,92 21,187 4,471 21,653
12,26 21,165 4,598 21,658
12,60 21,137 4,723 21,658
12,93 21,102 4,846 21,651
13,27 21,061 4,968 21,639
...     ... ... ...
95,38 -0,692 7,358 7,390
98,30 -1,062 7,281 7,358
101,24 -1,432 7,201 7,342
104,19 -1,801 7,120 7,344
107,13 -2,169 7,037 7,363
110,05 -2,537 6,951 7,400
112,94 -2,905 6,863 7,453
115,72 -3,271 6,113 7,522



В графе «У» указано направление единичного вектора z, в графе «Ti» -направление уже преобразованного вектора р. В графе «R» приведены значения длины вектора р. Из табличных данных видно, что расхождение в направлении вектора z и вектора р - величина переменная, но в районе 12° и 102° эти направления совпадают. Кроме того, им соответствуют максимальное и минимальное значение длины R. Таким образом, направления собственных векторов 12° и 102° - ортогональны. Собственные значения равны приблизительно 21,658 и 7,342 соответственно.

Для двумерного случая можно получить простые формулы. Согласно выражению (2.26), запишем:

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

или

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

а также представим в матричном виде:

(N-AE)z=0


где

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

- нулевая матрица.


Формально получаем

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru


Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Следовательно,

Так как Z - произвольный вектор и, в общем случае ненулевой, то

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Запишем для двумерного случая

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru


Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

- квадратное уравнение. Решая его относительно X и,

принимая во внимание, что п-ц = пц (т.к. матрица N симметрическая), получим

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Подставив значения из матрицы (2.27), получим а] == 21,659; Л^ = 7,341. Эти значения практически совпали с максимальным и минимальным значениями, приведенными в табл. 2.1.

Определим ориентацию собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям. Считая ^ известным, подставим это значение в уравнения системы (2.28) и решим ее относительно zi и z:, учитывая, что z/ == cosfF), z-г = = sinCF).

Первое уравнение системы (2.28) будет выглядеть так:

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Разделив в первом уравнении левую и правую часть на cos(T), получим:

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru


Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

откуда

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Подставив числовые значения, получим ^F = 12,388.

Таким образом, фактически получено направление большой полуоси эллипса У относительно норда. Если в уравнение (2.31) подставить другое значение Л, то получим направление малой полуоси, но так как они ортогональны, то практически это не требуется.

Для отыскания полуосей необходимо извлечь квадратные корни из собственных чисел

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Когда говорят об оценке точности, то обычно добавляют слова априорная или апостериорная. Априорная - это оценка точности, выполненная по информации о погрешностях измерений, полученной ранее. Как правило, такая информация о точности измеряемых навигационных параметров основывается на многочисленных статистических исследованиях, которые происходили до конкретной обсервации в каких-либо осредненных условиях. Именно такая информация обычно содержится в ковариационной матрице погрешностей измерений, используемой при расчете координат. В формуле (2.18) она обозначена как D. Если погрешности измерений статистически независимы, то внедиагональные элементы равны нулю и матрица имеет вид:

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Эти погрешности, в соответствии с правилом их переноса, формируют априорную ковариационную матрицу определяемых параметров.

Процедура построения эллипса погрешностей по ковариационной матрице сводится к следую­щим операциям:

- расчету собственных значений ^ по формуле (2.29);

- определению угла ориентации У по формуле (2.31);

- расчету полуоси по формулам (2.32).

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru
Рис. 2.5. Связь матрицы N с эллипсом погрешностей

На рис. 2.5 показана связь между элементами ковариационной матрицы и эллипсом. Отрезок, заключенный между касательной к эллипсу параллельной оси Y и самой осью, соответствует

СКП по широте:

Отрезок на оси Y,

отсекаемый вертикальной касательной, соответствует СКП по отшествию:

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

На рис. 2.5 также показана СКП обсервации М, которая рассчитывается как корень квадратный из следа ковариационной матрицы либо с помощью полуосей эллипса:

Априорная оценка точности рассчитанных координат - student2.ru

Наши рекомендации