Тема 2. Аналитическая геометрия

Пример 1.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru (3, -1).

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Пример 2.Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя уравнение прямой, проходящей через 2 точки, получаем:

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Пример 3. Найти уравнение прямой с направляющим вектором Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1×A + (-1)×B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Пример 4.Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , а = -1, b = 1.

Пример 5.Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

нормальное уравнение прямой:

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Пример 6.Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.

Уравнение прямой имеет вид: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru или х + у – 4 = 0.

Пример 7.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Пример 8.Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k2 = 2 tgj= Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ; j = p/4.

Пример 9.Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример 10.Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k= Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru . Тогда y = Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru откуда b = 17. Итого: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Раздел 3. Математический анализ

ТЕМА 1. Пределы функций

Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы:

1. Если необходимо найти предел

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ,

можно предварительно привести к общему знаменателю

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то есть

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

2. Аналогично, для примера Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

3. Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru в этом пределе, если подставить x=a, то получится неопределенность, которую можно преодолеть, если разложить разность кубов в знаменателе Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , а числитель в виде: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

Тогда Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru и подставив x=a, получим: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ;

4. Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , при подстановке х=0, получим Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

5. Однако, если необходимо найти предел рациональной функции

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , то при делении на член с минимальной степенью, получим

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ; и, устремив х к 0, получим: Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.

6. Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ; Сделаем замену переменной. Заменим Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , при Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , получим Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

7. Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru . Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то предел не изменится. Умножим числитель на Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru и разделим на это же выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим на Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru и разделим, на это же выражение. Тогда получим:

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Для определения пределов часто используются замечательные пределы:

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ; (1)

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru . (2)

8. Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

Для вычисления такого предела сведем его к 1-му замечательному пределу (1). Для этого умножим и разделим числитель на Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , а знаменатель на Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , тогда Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

9. Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru Для вычисления этого предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , где Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , а Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , где Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru ;

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , а Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , то окончательно Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru . Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных функций.

ТЕМА 2. Производная

Производной от функции Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru , или Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru в точке х, то есть Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru .

Производная есть скорость изменения функции в точке х.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Формулы дифференцирования элементарных функций:

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

 
  Тема 2. Аналитическая геометрия - student2.ru

Наши рекомендации