Тема 11. Векторное произведение

Ориентация тройки векторов, левый и правый базисы. Определение векторного произведения, его свойства, выражение через координаты сомножителей. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка, вычисление площади параллелограмма.

Тема 12. Смешанное произведение

Смешанное произведение трех векторов, условие их компланарности. Геометрический смысл определителя третьего порядка, ориентированный объём, вычисление объёма параллелепипеда.

Тема 13. Матрицы

Действия над матрицами: сложение и умножение матриц, транспонирование. Делители нуля. Множество квадратных матриц n-ого порядка как пример ассоциативного некоммутативного кольца. След матрицы. Линейно зависимые столбцы (строки матрицы). Базисный минор. Ранг и коранг матрицы. Элементарные преобразования. Симметричные, кососимметричные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Обратные матрицы. Вычисление обратных матриц. Ортогональные и унитарные матрицы. Обобщенные обратные матрицы. Блочные матрицы. Произведение Кронекера.

Раздел 2.2.

Системы линейных уравнений

Тема 14. Системы линейных алгебраический уравнений

Системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Метод Гаусса. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Построение фундаментальной системы решений. Общее решение в векторной форме. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Правило Крамера. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Раздел 2.3.

Векторное и евклидово пространства. Пространство линейных отображений

Тема 15. Векторные пространства

Понятие линейного (векторного) n-мерного пространства. Аксиомы, определяющие векторное пространство. Векторные подпространства. Понятие линейной алгебры над полем. Линейная зависимость векторов. Размерность и базис векторного пространства. Переход к новому базису, преобразование координат при переходе к новому базису.

Тема 16. Линейные преобразования

Понятие линейного преобразования как однозначного отображения векторного пространства в векторное пространство. Примеры линейных преобразований. Линейные операторы. Свойства линейных преобразований. Ранг и дефект. Взаимнооднозначные линейные преобразования. Представление линейных преобразований помощью матриц. Операции над линейными преобразованиями. Обратные операторы.

Тема 17. Собственные вектора и собственные значения.

Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Характеристический многочлен, теорема Гамильтона–Кэли. Свойства собственных векторов и собственных значений. Теорема о полноте собственных векторов. Положительные матрицы. Собственные значения и собственные вектора положительных матриц, теоремы Фробениуса–Перрона.

Тема 18. Евклидовы и гильбертовы пространства

Определение евклидова пространства. Скалярное произведение и его свойства: дистрибутивность, коммутативность, однородность и положительная определенность. Пространство линейных отображений (операторов). Норма оператора, ее вычисление по матрице оператора. Неравенство Коши-Буняковского. Определение угла в евклидовом пространстве. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грамма–Шмидта. Разложение вектора по ортогональному базису. Гильбертово пространство как пример бесконечномерного векторного пространства, свойство полноты, теорема Пифагора в гильбертовом пространстве.

Тема 19. Сопряженные и самосопряженные операторы

Понятие об унитарном пространстве. Преобразование, сопряженное данному, самосопряженные преобразования, канонический вид самосопряженного оператора. Симметричные матрицы. Свойства собственных векторов и собственных значений самосопряженных операторов. Ортогональные преобразования, ортогональные матрицы. Свойства собственных значений ортогональных матриц. Преобразование симметричной матрицы к диагональному виду. Положительно определённые матрицы. Идемпотентные матрицы, собственные числа и ранг идемпотентной матрицы.

Тема 20. Квадратичные формы

Определение квадратичной формы, приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Ранг, индекс и сигнатура квадратичной формы. Условие знакоопределенности квадратичной формы.

Раздел 2.4.