Тригонометрическая подстановка
Интегралы вида
с помощью замен сводятся к интегралам от рац. ф-ий.
«Берущиеся» и «не берущиеся» интегралы
Говорят, что интеграл берется или вычисляется, если первообр. выражается через элементарные ф-и. Если же первообр. не вычисляется, то говорят, что интеграл не берется.
Пример: - интеграл Пуассона (теория вероятности)
-интегральный логарифм (теория чисел)
-интегралы Френеля (физика)
Первообразные этих ф-ий хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы для различных значений аргумента х.
Дифференциальные ур-ния.
ДУ наз-тся соотношение, связывающее независимую переменную , искомую ф. и ее производную. Если искомая ф. есть ф-я одной независимой переменной, то ДУ наз-тсяобыкновенным. Порядок старшей производной, входящей в ДУ наз-тся порядком данногоур-ния.
Общий вид ДУ –ного порядка .
Пр. –ДУ 1-го порядка.
ДУ. Линейные ДУ 1 порядка.
Дифференциальным уравнением наз соотношение, связывающее независ переменную x, искомую ф-июy=f(x) и её производную.
Если искомая функция есть ф-ия одной независимой переменной, то ДУ наз обыкновенным, порядок старшей производной , входящей в ДУ, наз порядком ланногоур-я.
Общий вид ДУ n-го порядка: (1)
Ф-ияy=f(x), кот-я при подстановке в ур-е (1) обращает этоур-е в тождество, наз-ся решением этого ур-я.
ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (2) или y’=f(x,y)(3) в случае, если y’ можно выразить относительно x и y
Реш-е ур-я (3) наз-ся общим реш-ем этого ур-я.
Реш-е может получаться в неявной форме Ф(x,y,c)=0 – наз общим интегралом.
Реш-е, кот получается из общего при некотором фиксированном значении С наз частным решением. Условия, что при x=x0 ф-ияy=y0наз начальным условием, кот-е позволяет из общего реш-я выделить частное.
Ур-я с разделяющимися переменными.
Ур-е вида наз ур-ем с разделяющимися переменными. Это ур-е можно записать в виде:
, домножим на :
Вычислим:
Однородные ДУ
Ф-ияf(x,y) наз однородной измерения М если имеет место тождество f(xt,yt)=tm(x,y)
f(x,y) = x2-3xy+2y2
f(tx,ty)=(tx)2-3(tx)(ty)+2(ty)2=t2(x2-3xy+2y2)=t2f(x,y) – однородная ф-ия измерения t.
Ур-е M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 наз однородным ДУ 1-го порядка, если ф-ииM и N однородные ф-ии одного и того же измерения.
С помощью подстановки y=ux, где u – искомая ф-ия, зависящая от x, ур-е сводится к ур-ю с разделяющимися переменными.
Линейные ДУ 1-го порядка: Ур-е вида y’+p(x)y=q(x)
Для реш-я исп-ют подстановку y=uv; dy=vdu+udv
Ф-ию подбирают т.о., чтобы =0.
Метод Лагранжа.
Линейное ДУ 1-го порядка наз линейным если
Y’+py=0
Для ур-й 1-го порядка это ур-е с разделяющимися переменными. Метод Лагранжа заключается в следующем: сначала мы решаем соответственно однородноеур-е, полученная ф-ия содержит С. Для реш-я исходного ур-я подбираем С т.о., чтобы реш-е однородного ур-я давало реш-е исходного, считая С зависящей от x.
19))Числовые и функциональные ряды.
Числовые ряды.
Числовой ряд-символ, обозначаемый
Числа наз-ют членами этого ряда.
Суммы конечного числа членов этого ряда наз-ют частичными суммами или отрезками данного ряда.
Рассм. послед-сть . Если сущ-ет , то ряд наз-ют сходящимся, число –суммой этого ряда. Если послед-сть не имеет предела, то ряд расходящийся.
Пр. , ,
след-но данный числовой ряд сходится и его сумма =0.
Св-ва числовых рядов:
1) если из членов ряда отбросить первых членов, то получим ряд , к-рыйназ-тся –ным остатком. Остаток данного ряда сходится и расходится одновременно с исходным рядом. Это означает, что при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать конечное число первых членов.
2) (необходимый признак сходимости). Общий член сходящегося ряда ®0, т.е. , что не явл. достаточным признаком.
3) если ряд сходится и его сумма = , то ряд также сходится, и его сумма =
4) если 2 числовых ряда и сходятся, тогда ряд
Положительные ряды.
Полож. рядом наз-тся ряд, члены к-рогонеотриц.
1. Признак сравнения.
Пусть даны 2 «+» ряда (1) и (2) начиная с нек-рого номера вып-тся условие , тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
2. Признак Даламбера.
Если члены «+» -ного ряда таковы, что сущ-ет предел , тогда если r<1 -ряд сходится; r>1 - расходится; r=1 -нужны доп. исследования.
Интегральный признак Коши.
Пусть члены «+» ряда таковы, что , где при непрерывн., «+» и убывает, тогда исх. ряд и несобств. интеграл сходятся и расходятся одновременно.
Пр. рассм. соотв. несобств. интеграл = - ряд сходится.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочеред. рядом наз-тся ряд вида , где . Этот ряд можно записать в виде
Признак Лейбница.
Если члены знакочеред. ряда удовлетворяют условиям:
1.
2.
то знакочеред. ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость.
О. Ряд (1) наз-тсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд (2). Если же ряд (1), а ряд (2) расх., то такие ряды наз-ют условно сходящимися. и
Теорема:если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Пр. -ряд Лейбница сходится. -гармонич. ряд расходится.
т.е. данный пример пок-ет, что сущ-ют ряды сходящиеся, но не сходящиеся абсолютно.
Если ряд с произвольными членами расходится, то члены данного ряда можно расставить таким образом, что ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу.
Функциональные ряды.
Ряды, членами к-рыхявл. функции наз-тсяфункциональным рядом.
Если вместо переменной положить , где –из обл. определения ф-и , то получим числовой ряд . Если данный ряд сходится, то наз. точкой сходимости, если числ. ряд расходится. то –точка расходимости.
О. Совокупность всех точек сходимости функ. ряда наз-тся областью его сходимости.
Пр. при <1 ряд сходится, а при >1 ряд расходится.
Рассм. соотв. числовые ряды при и
: -расходится
: след-но обл. сходимости (-1;1).
Степенные ряды.
-функциональный ряд вида , где –действит. числа, называемые коэф-тами степенного ряда.
1. если степенной ряд сходится только в т. , то его будем относить к рядам 1-го класса.
Пр. . Применим признак Даламбера
т.к. –конечно, то данный предел при , остается единственный случай, когда – ряд-1-го рода.
2. ряд (1) сходящийся в любой точке, будем относить к рядам 2-го рода.
Пр.
т.к. – конечная точка на числ. прямой, то данный предел при любом , след-но при любом по признаку Даламбера ряд сходится-ряд 2-го рода.
3. ряд, не Î к 1-му и 2-му классу относят к рядам 3-го класса.
Пр. т.к. при ряд сходится, то ряд не относится к 1-му классу, т.к. при ряд расходится, то ряд не относится ко 2-му ряду, т.е. это ряд 3-го класса.
Теорема Авеля: если степенной ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится для любого < . Если же степ.ряд (1) расходится при , то он расходится и при всех > .
След-но для каждого степенного ряда(1) третьего класса сущ-ет число >0, называемое радиусом сходимости, для к-роговып-тся условия: при < ряд сходится абсолютно , при > –расходится. Промежуток наз-тся интервалом сходимости степ.ряда. Для степ. ряда 2-го класса инт. сходимости (-¥;+¥). Областью сходимости степ.ряда явл. интервал, к-рому в отдельном случае добавляются один или оба конца этого интервала. Для степенного ряда 1-го класса полагают =0, 2-го класса =¥.
Теорема. Пусть для степенного ряда сущ-ет и оличен от 0 , тогда .
Пр.
тогда . Проверим как ведет себя ряд на границе сходимости
: -расходится(гармонич. ряд)
: - ряд Лейбница (сходится). След-но область сходимости .
ДУ второго порядка
Общий вид: F(x,y,y’,y’’)=0. Общее реш-е содержит 2 независимые произвольные постоянные с1 и с2. Если заданы начальные условия y(x0)=y0, y’(x0) = y’0, то из с-мы можно найти произв постоянные с1 и с2, тем самым найти частное реш-е
Ур-я 2-го порядка решаются путём применения неопределённого интегрирования в след случаях:
1. Пусть
; ; ;
;
+c
2.
Положим , тогда
=>данноеур-е примет вид: , те получаем ур-е 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Однородные линейные ДУ 2-го порядка имеет вид: ;p,q – нек действительные числа.
Искать решение в виде
λ2+pλ+q=0 – характеристическое ур-е.
1 случай:ур-е имеет 2 действит корня, λ1≠ λ2, тогда общее реш-е имеет вид:
2 случай: ур-е имеет 2 действитсовп корня λ1= λ2= λ
Общее реш-е:
3 случай: корни квадратногоур-я мнимые: λ1,2= ,
Общий вид:
Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
Т. Общее реш-е неоднородного ЛДУ 2-го порядка с пост коээф-ми равно решения соответствующего однородного ур-я и частноо реш-я исходного неоднородного ур-я.
Нахождение частного реш-я неоднородного ур-я:
1. Пусть правая часть – показательная ф-ия,
a≠0:
а) m не явл корнем характеристического многочлена, тогда частное реш-е в виде:
б) если характеристическое ур-е имеет 2 разл действ корня, один из кот-х = m, то частное реш-е в виде:
в) если корни характеристическогоур-я совпадают и равны m, то частное реш-е в виде:
2. Правая часть неоднородногоур-я – тригонометрическая ф-ия
Частное реш-е в случае, когда ± ki не явл-ся корнем характеристическогоур-я
Если же kiявл корнем хар-гоур-я, то частное реш-е в виде:
3. Правая часть линейногоур-я предст собой многочлен Pn(x), тогда частное реш-е в случае коглаq≠0 будем искать в виде Qn(x)
Если q=0, p≠0, тогда в виде xQn(x).