Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций.

43¹. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции.

Если функции и имеют производныев точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также имеют производную в этой точке (частное при условии, что ) и справедливы следующие формулы:

, , . (1)

Производная обратной функции.

Утверждение 1. Если функция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки , имеет производную в точке и , то обратная функция имеет производную в соответствующей точке , , причем .

Производная сложной функции.

Утверждение 1. Если функция имеет в точке производную, а функция имеет в соответствующей точке производную , то сложная функция имеет производную в точке и справедлива следующая формула:

. (1)

43². Производные элементарных функций.

Производная постоянной, степенной, тригонометрических и показательной функций.

а) Пусть . Тогда , т.е. .

б) Пусть . Тогда , т.е.

. (2)

в) Производная функции выражается формулой .

.

Из полученных формул и правила дифференцирования частного имеем:

,

. ☐

г) С помощью второго замечательного предела можно показать, что

. (3)

.

Логарифмическая производная.Предположим, что

.

Рассмотрим функцию . Дифференцируя эту функцию как сложную, где , , получим

. (2)

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной этой функции, а последовательное применение операции логарифмирования, а затем дифференцирования называется логарифмическим дифференцированием.

С помощью этого метода найдем производную показательно-степенной функции , где – функции, имеющие в точке x производные и . Применяя формулу (2), получим

.

В правой части имеем производную произведения:

.

Следовательно,

. (3)

Производная логарифмической и обратных тригонометрических функций.

а) Производная функции выражается формулой .

б) Производная функции выражается формулой

.

Корень взят со знаком плюс, так как и . □

А также:

, (4)

, (5)

. (6)

Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Производные и дифференциалы высших порядков.

44¹. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.