Тема 7 Случайные величины и их числовые характеристики

Задача 1. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х 40 42 41 44,

Р 0,1 0,3 0,2 0,4.

Найти: 1) математическое ожидание M(X); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .

1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

Х x₁ x₂ . . . x_n

P p₁ p₂ . . . p_n

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй -вероят­ности этих значений, то математическое ожидание М (Х) вычисляется по формуле

M (X)= x₁ p₁+ x₂ p₂+…+ x_n p_{n =}

Тогда М(Х)=40 0,1 + 42 0,3 + 41 0,2 + 44 0,4 = 42,4

2) Дисперсией D(Х) дискретной случайной величины Х называется математи­ческое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математи­ческого ожидания, т. е.

D(X) =М[Х — М(Х)]²=

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от М(Х). Имеем

D(X)=

Дисперсию D(X) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(Х) равна разности между математическом ожиданием квадрата случайной ве-личины Х и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть D(X)=M(X²)-[M(X)].²

Для вычисления М(Х²) составим следующий закон распределения величины Х²

X² 40² 42² 41² 44²

P 0,1 0,3 0,2 0,4

Тогда М(X² ) =40² • 0,1 + 42² • 0,3 + 41² • 0,2 + 44² • 0 4= 160 + 529,2 + 336,2 + 774,4 = 1799,8 и D(X) =1799,8 — 42,4²=2,04.

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величины Х, равное квадратному корню из дисперсии D(Х), то есть

Из этой формулы имеем: = 1,43.

Задача 2. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

0 при x<0,

F(x)= x³ при

1 при x>1

1) Найти дифференциальную функцию распределения f(х); 2) математи-ческое ожидание М(Х); 3) дисперсию D (Х).

Решение: 1) Дифференциальной функцией распределения f(х) непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения F(x) то есть f(х) =F'(х).

Дифференциальная функция имеет следующий вид:

0 при x<0,

f(х) = 3x² при

0 при x>1.

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(х)), то ее математическое ожидание определяется формулой:

Так как функция p(x) при x<0 и при х>1 равна нулю, то из последней формулы имеем:

.

3) Дисперсию D(X) определим по формуле

Задача 3. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2)вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5 мм.

Решение: 1) Пусть Х — длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(х), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку определяется по формуле:

Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

где Ф(х) – функция Лапласа, а=М(Х), .

В задаче а =40, α =34, β = 43, σ = 3. Тогда

Р (34<X<43) = Ф - Ф = Ф(1) – Ф(-2) = Ф(1)+Ф(2) = =0.3413+0.4772=0.8185.

2) По условию задачи α – δ < Х < α + δ, где а =40; δ=1.5.

Подставив в (1) α=а- δ, β= α + δ, имеем

Р(α – δ<X< α + δ)=Ф - Ф =Ф -Ф =2 Ф , то есть

Р( <δ)=2Ф

Из формулы (2) имеем: Р( <1.5)=2 Ф =2 Ф(0.5)=2 0.1915=0.383.

Вопросы для самопроверки

1.Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными?

2.Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

3.Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Ее дисперсией? Средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

4.Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.

5. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

6. Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

7.Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

8. Сформулируйте правило «трех сигм».

9. Назовите сущность закона больших чисел.

10. Напишите неравенство Чебышева.

Задания для контрольной работы №2

Задание 1

В задачах 1 – 20 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

1. а) б) в)

2. а) б) в)

3. а) б) в)

4. а) б) в)

5. а) б) ; в)

6. а) б) в) .

7. а) б) в)

8. а) б) в)

9. а) б) в)

10. а) б) в)

11. а) б) в)

12.а) б) в)

13. а) б) в)

14. а) б) в)

15. а) б) в)

16. а) б) в)

17. а) б) в)

18. а) б) в)

19. а) б) в)

20. а) б) в)

Задание 2

В задачах 1 – 10 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

1. у = х³; у = 2. у = у = 6 – х .

3. у = у = 4 – х . 4. у = х²+2; у = 4 – х².

5. у = - х²+1; у = х – 1. 6. у = x² – 4x+4; y=x.

7. y = y = 4x. 8. y = y = 7 – x.

9. y = 3x²+1; y = 3x+7. 10. y = 2x – x²; y = - x.

В задачах 11 – 15 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

11. y² = x; y = x². 12. xy = 4; x = 1; x = 4; y = 0.

13.y = sin x (одна полуволна); y = 0. 14. y = x²+1; y = 3x – 1.

15.

В задачах 16 – 20 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

16. y² =4 – x ; x=0. 17.

18. x + y – 2 =0; x=0; y=0. 19. xy =2; x=0; y=1; y=4.

20. y =-x²+4; x=0; y=0; y=3.

Задание 3

В задачах 1 – 20 найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

1. (e^2x+1)dy+ye^2xdx=0. 2. (2+y) dx – (2 – x ) dy =0.

3. x²dy+(y – 1)dx =0. 4. y (e^x+1)dy – e^xdx =0.

5. (e^x+2)y^/ =ye^x. 6. y^/ =e^{x – y} .

7. xyy^/ = 3x². 8. y^/ tg x – y =0.

9. (1+x²)y^/ = 1+y². 10. y^/ cos x – y sin x=0.

11. xy^/ - y =x³. 12. xy^/ - y = – 2lnx.

13. x³y^/ +3x²y =2. 14. y^/ + e^x y =e^2x.

15. xy^/ + y = x+1. 16. y^/ – y cosx = – sin 2x.

17. xy^/ – y = -ln x. 18. y^/ – 4xy = -4x³.

19. 2xy^/ + y = 2x³ . 20. y^/ + xy = –x³.

Задание 4

В задачах 1 – 20 найти общее решение дифференциального уравнения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задание 5

В задачах 1 – 20 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

1.y′′+y′-2y=6x2,y(0)=-4,y′(0)=–1.

2. y′′–4y =8x3, y(0) = 2, y′(0) = – 3.

3. y′′– 2y′ +y =8ex, y(0) = 1, y′ (0) =3.

4. y′′+ 2y′+5y = 4e-x, y(0) = 1, y′ (0) -1.

5. y′′+6y′+9y = 10 sin x, y(0)=0, y′(0) =1.

6. y′′+9y = cos 3x, y(0) =1, y′ (0) =3.

7. y′′– 3y′ +2y =ex, y(0) =2, y′(0) = 2.

8. y′′– 5y′ + 6y = 13 sin 3x, y(0) = 2, y′ (0)=2.

9. y′′– 2y′ = 2x+1, y(0) =1, y′(0) =1.

10. y′′+ y =2x3– x+2, y(0) =3, y′(0) = – 2.

11. y′′+y′-2y=6x2,y(0)=-4,y′(0)=–1.

12. y′′–4y =8x3, y(0) = 2, y′(0) = – 3.

13. y′′– 2y′ +y =8ex, y(0) = 1, y′ (0) =3.

14. y′′+ 2y′+5y = 4e-x, y(0) = 1, y′ (0) -1.

15. y′′+6y′+9y = 10 sin x, y(0)=0, y′(0) =1.

16. y′′+9y = cos 3x, y(0) =1, y′ (0) =3.

17. y′′– 3y′ +2y =ex, y(0) =2, y′(0) = 2.

18. y′′– 5y′ + 6y = 13 sin 3x, y(0) = 2, y′ (0)=2.

19. y′′– 2y′ = 2x+1, y(0) =1, y′(0) =1.

20. y′′+ y =2x3– x+2, y(0) =3, y′(0) = – 2.

Задание 6

В задачах 1 – 20 дан степенной ряд

При заданных значениях а и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

1. a=2, b=3. 2. a=3, b= 5. 3. a=4, b=7. 4. a=5, b=9.

5. a=7, b=6. 6. a=2, b=5. 7. a=3, b=2. 8. a=4, b=3.

9. a=5, b=2. 10. a=6, b=4. 11. a=3, b=7. 12. a=4, b=5.

13. a=8, b=3. 14. a=7, b=4. 15. a=5, b=7. 16. a=2, b=6.

17. a=3, b=4. 18. a=7, b=5. 19. a=5, b=8. 20. a=2, b=4.

Задание 7

В задачах 1 – 20 вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

Задание 8

1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете.

2. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

3. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

4. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.

5. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка; б) попадает хотя бы один из них.

6. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными.

7. Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой появится нечетное количество очков.

8. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40% , второго сорта – 50% , третьего сорта – 10% . Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта, равна 0.8, второго – 0.5, третьего – 0.3. Найти вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно.

9. В магазин поступили телевизоры из трех заводов. Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе, равна – 0.3, на втором – 0.2, на третьем – 0.5. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, для первого завода равна 0.2, для второго – 0.1, для третьего – 0.3 .Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется небракованным.

10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) три раза; б) не более двух раз.

11. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам на удачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

12. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

13. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0.7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0.38. Найдите р.

15. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет одинаковое число очков.

16. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий окажется 3 бракованных.

17. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75; для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все трое промахнутся; 3) только один стрелок попадет в цель; 4) хотя бы один стрелок попадет в цель.

18. В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Чему равна вероятность того, что вынутые шары разного цвета?

19. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго – 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

20. Из партии, в которой 20 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: 1) все три детали без дефектов; 2) по крайней мере одна деталь без дефектов?

Задание 9

В задачах 1 –10 дана вероятность р того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что из n посеянных семян прорастет ровно k семян.

1.n =100, р=0.9, k=95. 6.n =100, р=0.8, k=85.

2.n =400, p=0.8, k=330. 7.n =400, p=0.9, k=330.

3.n =900, p=0.36, k=340. 8.n =900, p=0.25, k=240.

4.n =225, p=0.64, k=158. 9.n =225, p=0.49, k=112.

5.n =250, p=0.81, k=200. 10.n =250, p=0.64, k=160.

В задачах 11 – 20 дана вероятность р появления события А в каждом из n независимых испытаний. найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее k₁ раз и не более k₂ раз.

11.n =360, p=0.8, k₁=280, k₂=300.

12.n =490, p=0.6, k₁ =320, k₂=350.

13.n =640, p=0.9, k₁=500, k₂=540.

14.n =225, p=0.2, k₁=50, k₂=60.

15.n =810, p=0.4, k₁=340, k₂=400.

16.n =250, p=0.7, k₁=150, k₂=180.

17.n =300, p=0.3, k₁=110, k₂=130.

18.n =625, p=0.8, k₁=480, k₂=500.

19.n =100, p=0.5, k₁=60, k₂=80.

20.n =256, p=0.9, k₁=200, k₂=220.

Задание 10

В задачах 1 – 20 задан закон распределения дискретной случайной величины Х ( в первой строке указанны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.

1. Х 8 4 6 5

р 0,3 0,2 0,2 0,3

2. Х 13 25 27 29

р 0,2 0,1 0,3 0,4

3. Х 10 8 6 9

р 0,4 0,1 0,3 0,2

4. Х 32 40 37 35

р 0,1 0,3 0,4 0,2

5. Х 42 41 43 45

р 0,3 0,3 0,2 0,2

6. Х 15 11 13 12

р 0,2 0,5 0,2 0,1

7. Х 52 54 57 51

р 0,1 0,4 0,3 0,2

8. Х 21 20 22 26

р 0,5 0,2 0,2 0,1

9. Х 34 30 32 36

р 0,2 0,4 0,3 0,1

10. Х 50 48 51 53

р 0,3 0,2 0,2 0,3

11. Х 8 4 6 5

р 0,3 0,2 0,2 0,3

12. Х 13 25 27 29

р 0,2 0,1 0,3 0,4

13. Х 10 8 6 9

р 0,4 0,1 0,3 0,2

14. Х 32 40 37 35

р 0,1 0,3 0,4 0,2

15. Х 42 41 43 45

р 0,3 0,3 0,2 0,2

16. Х 15 11 13 12

р 0,2 0,5 0,2 0,1

17. Х 52 54 57 51

р 0,1 0,4 0,3 0,2

18. Х 21 20 22 26

р 0,5 0,2 0,2 0,1

19. Х 34 30 32 36

р 0,2 0,4 0,3 0,1

20. Х 50 48 51 53

р 0,3 0,2 0,2 0,3

Задание 11

В задачах 1 – 20 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(х); 2) математическое ожидание М(х); 3) дисперсию D(Х).

1. F(x)= 2. F(x)=

3. F(x)= 4. F(x)=

5. F(x)= 6. F(x)=

7. F(x)= 8. F(x)=

9. F(x)= 10. F(x)=

11. F(x)= 12. F(x)=

13. F(x)= 14. F(x)=

15. F(x)= 16. F(x)=

17. F(x)= 18. F(x)=

19. F(x)= 20. F(x)=

Задание 12

1.Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Найти процент стандартных деталей.

2. Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25см, среднее квадратическое отклонение равно 5см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20см.

3. Процент всхожести семян равен 90% . Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

4. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5.Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.

5.Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95.

6. Средний вес зерна равен 0,2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16г до 0,22г.

7. Норма высева семян на 1 га равна 200кг. Фактический расход семян на 1га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100га с гарантией 0,95.

8. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

9. Масса яблока, средняя величина которой равна 150г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130г до 180г.

10. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.

11.Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Найти процент стандартных деталей.

12. Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25см, среднее квадратическое отклонение равно 5см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20см.

13. Процент всхожести семян равен 90% . Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

44. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5.Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.

15.Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95.

16. Средний вес зерна равен 0,2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16г до 0,22г.

17. Норма высева семян на 1 га равна 200кг. Фактический расход семян на 1га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100га с гарантией 0,95.

18. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

19. Масса яблока, средняя величина которой равна 150г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130г до 180г.

20. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.

Литература

1.Гмурман В.Е.

Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман.

– М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.

2.Гмурман В.Е.

Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2002. – 454 с.

3. Шипачев В.С.

Курс высшей математики: учебник для вузов /В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.

4. Шипачев В.С.

Задачник по высшей математике: учеб. пособие для студ. вузов/ В.С. Шипачев- 6-е изд., стер..- М.: Высш. шк., 2006.- 304 с.

Дополнительная литература

1. Данко П.Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие: в 2 ч./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд..- М.: ОНИКС 21 век : Мир и образование. – 2003.- Ч.1.- 2003. - 304 с.

2. Данко П.Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие: в 2 ч./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд..- М.: ОНИКС 21 век : Мир и образование. – 2003.- Ч.2.- 2003. - 416 с.

3. Письменный Д.Т.

Конспект лекций по высшей математике. I, II ч. – М.: Рольф, 2007. – 603 с.

4. Лунгу К.Н.

Сборник задач по высшей математике с контрольными работами /

К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко.- 1 курс.;

2 курс. – М.: Айрис Пресс, 2007. – 575 с.; 542 с.