Функция, заданная параметрически

Будем говорить, что переменная y как функция аргумента x задана параметрически, если обе переменные x и y заданы как функции некоторой третьей переменной t, называемой параметром.

Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты и движущейся точки рассматриваются как функции времени.

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

44². Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция имеет производную в каждой точке . Тогда на промежутке будет определена функция , и можно говорить о производной этой функции.

Производной второго порядка функции называется производная от производной первого порядка , если она существует, и обозначается .

Производную от второй производной называют производной третьего порядка и обозначают .

Аналогично производная n-го порядка является производной от производной -го порядка и обозначается .

Производные высших порядков широко применяются, в частности, в физике. Выясним, например, физический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно и пройденный ею путь описывается уравнением , t – время. Как известно из § 1, первая производная от пути по времени есть мгновенная скорость движения точки в момент времени : . Тогда вторая производная от пути по времени равна скорости изменения функции скорости . А это есть ускорение a(t) материальной точки в момент времени t. Таким образом, вторая производная от пути по времени есть ускорение, т.е. .

Найдем производные n-го порядка для некоторых элементарных функций.

1) Найдем степенной функции , . Очевидно, , ,…, .

Если предположить, что , то

, .

2) Замечательным свойством обладает показательная функция . Для любого n справедлива формула

.

3) Найдем n-ую производную функции . Будем иметь

,

.

Можно показать, что

. (1)

4) Аналогично,

. (2)

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Дифференциал этой функции который также называется ее первым дифференциалом, зависит от двух переменных и

Пусть функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке . Тогда дифференциал в этой точке функции , рассматриваемой как функция только от (т.е. при некотором фиксированном ), если для его обозначения использовать символ имеет вид

Значение дифференциала , т.е. дифференциала от первого дифференциала, в некоторой точке при называется вторым дифференциалом функции в этой точке и обозначается через , т.е.

(1)

При записи степени дифференциала аргумента принято опускать скобки (в частности, вместо будем писать ).

Подобным же образом, в том случае, когда производная -го порядка дифференцируема в точке , определяется дифференциал -го порядка функции в точке как дифференциал от дифференциала -го порядка , в котором :

.

Имеет место формула:

. (2)

Отсюда получаем другую запись для n-ой производной:

. (3)

45. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции.

45¹. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

Дифференциал функции. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда приращение функции в этой точке может быть записано по формуле (1), где . Так как является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению c (при условии, что ), то . Поэтому первое слагаемое является главной частью приращения , линейной относительно .

Главная часть приращения функции в точке x, линейная относительно , называется дифференциалом функции в этой точке. Для обозначения дифференциала используется обозначение , а поскольку , то

. (2)

Если , то не является, вообще говоря, главной частью приращения . В этом случае, по определениюполагают .

Геометрический смысл дифференциала. Для выяснения геометрического смысла дифференциала проведем к графику функции в точке касательную МТ (рис.1) и обозначим через угол ее наклона к положительному направлению оси .

Поскольку , то . Поэтому из треугольника MLN следует, что дифференциал dy есть приращение ординаты точки касания, соответствующее приращению аргумента .

Из обозначения производной функции или видно, что производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

45². Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Пусть имеет место формула (1.1). Перейдем от нее к приближенной формуле или . Тогда , откуда

. (1)

Формула (1) позволяет вычислить приближенное значение функции, соответствующее приращенному значению аргумента, если известно ее значение в некоторой точке и значение производной в этой точке, когда приращение аргумента является достаточно малым.

45³. Инвариантность формы первого дифференциала.

Форма записи дифференциала не зависит от того, является аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называют инвариантностью формы дифференциала.

45⁴. Непрерывность дифференцируемой функции.

Теорема 1. Пусть функцияy = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция fнепрерывна на (a, b).

Доказательство

Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).

По условию теоремы

Следовательно, в малой окрестности числа x₀ можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при такую, что

Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна при x = x₀. Так как число x₀ – произвольное, то функция fнепрерывна на всем интервале (a, b).

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.

Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же имеем, еслиx = 0придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а еслиΔx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом,

Следовательно, функция недифференцируема при x = 0.