Понятие комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
301. Понятие комплексного числа.
Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел , которая записывается в виде . Любое действительное число, согласно этому определению, можно записать .
Два комплексных числа называются равными, если .
302. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
1. Алгебраическая форма комплексного числа.
Среди комплексных чисел особое место занимает число , которое называют мнимой единицей и обозначают через i: .
Согласно формуле (1.2) имеем ,
т.е. .
С помощью формул (1.1) и (1.2) получим:
.
Т.е. каждое комплексное число можно записать в виде
, (1)
называемом алгебраической формой. При этом число x называют действительной частью комплексного числа z и обозначают , а число y – мнимой частью и обозначают .
Если , то комплексное число называют мнимым числом.
Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняются по правилам действий с многочленами, заменяя на . Например, равенство (1.2) можно получить так:
Множество комплексных чисел обозначают буквой . Числа и на множестве имеют те же самые свойства, что и на множестве :
, , .
На множестве вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для каждой пары комплексных чисел и существует, и при том только одно, комплексное число z, такое, что
. (2)
Действительно, из равенства (2), согласно правилу равенства и определению (1.1) суммы комплексных чисел, следует . В частности, разность обозначают – z.
Деление на множестве вводится как операция, обратная
умножению, а частным от деления комплексного числа на число называют такое число z, что имеет место равенство
, (3)
и обозначают или .
2. тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Пусть есть модуль комплексного числа z, а – угол между положительным направлением действительной оси и вектором z, который отсчитывается от положительного направления действительной оси (рис.3. 1). Этот угол называют аргументом комплексного числа и обозначают .
Для числа аргумент не определяется, поэтому далее, при использовании , будем считать, что .
Очевидно (рис. 3.1), что
, . (1)
Отсюда следует, что всякое комплексное число представляется в виде
. (2)
Запись комплексного числа в виде (2) называют тригонометрической формой комплексного числа.
Из формул (3.1) и (1), учитывая, что , находим:
, . (3)
Система (3) имеет бесконечно много решений вида ,
где .
*****
Пусть имеем
. (7)
Определим показательную функцию с помощью формулы Эйлера
. (8)
Тогда (7) примет вид
. (9)
Форма (9) называется показательной формой комплексного числа.
С помощью формулы (9) легко получаем правила умножения и деления комплексных чисел в показательной форме
, .
Это множество обозначается , при этом – значение аргумента комплексного числа, которое принадлежит полуинтервалу , называется главным значением и обозначается .
Используя (3), получим . Тогда , где при при и при .