Парадокс конечной достижимости в очереди.

Моделью «очереди» или линейного порядка будем называть всякую реализацию аксиом 1 – 4 из 5 аксиом Пеано структуры натурального ряда, см. п. 1.1 §1. Элемент х будем называть достижимым в «очереди», если этот элемент х=S(...S(S(1))) получен конечным числом операций следования S из первого элемента “1”. Вопрос: всякий ли элемент «очереди» достижим?

В качестве первой модели возьмём модель натурального ряда N = { 1,2,3,…,} в десятичной записи. Для доказательства конечной достижимости всех элементов в этой модели воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано, см. п.1.1. § 1. Пусть М - множество всех достижимых элементов. Это множество удовлетворяет свойствам 1-4 аксиоматики Пеано: 1ÎМ, S(1) ÎМ; если xÎМ, то S(х)ÎМ и так далее. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что МºN, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.

В качестве второй модели «очереди» возьмём модель Торальфа Сколема . Эта модель представляет линейную цепочку вида: ( п.1.1. § 1)

Т = 1, 2, ... , n, ... ; ..., а_-2, а_-1, а₀, а₁, а₂, ... ; ... ,

Первые четыре аксиомы аксиоматики Пеано, формирующие структуру «очереди», для этой цепочки выполняются. В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид:

_{..., а-2, а -1, а0, а1, а2, ...}

и содержат недостижимые элементы. Получили парадокс: в одной модели линейного порядка N все элементы достижимы, в другой модели линейного порядка – Т оказались недостижимые элементы.

Мы получили некоторое противоречие, которое состоит в том, что на вопрос достижимы (или не достижимы) все элементы «очереди» нет однозначного ответа: в одной модели есть, в другой модели нет этой достижимости.

Покажем, что свойство достижимости, назовем его аксиомой Д, не зависит от первых четырёх аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории аксиоматики состоящей только из первых четырёх аксиом.. Пусть П= {П₁, ... ,П₄} - аксиоматика структуры линейного порядка, см. п.1.1, §1.

Модель Сколема Т реализует систему Аксиом П и отрицание аксиомы достижимости: Т=R₁{П,ùД}. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и аксиому достижимости: N=R₂(П, Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом, п.7.3., §7, заключаем, что аксиома Д не зависит от системы четырёх аксиом линейного порядка П.

Вывод 1. В теории структуры линейного порядка определяемого первыми четырьмя аксиомами аксиоматики Пеано свойство достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.

Вывод 2. Парадокс конечной достижимости в структуре линейного порядка есть следствие существования неизоморфных моделей этой структуры.

Противоречивость в дедуктивных схемах

Можно ли в процессе дискуссии основываясь на одних и тех же фактах придти к противоречащим друг – другу выводам? Рассмотрим следующий пример.

Пример .

Из 15 аксиом планиметрии Евклида Е² и 15 аксиом планиметрии Лобачевского L₂удалим аксиомы параллельности. Оставшиеся 14 аксиом составляют аксиоматику абсолютной планиметрии.

Напомним, что теория абсолютной планиметрии не категорична, т.к. существуют две её неизоморфные реализации: L₂не изоморфна R². Эта теория дедуктивно не полна, т.к. аксиома параллельности не выводима из остальных аксиом. Начнём строить умозаключения в этой теории и посмотрим, к чему это может привести.

Три признака равенства треугольников справедливы в абсолютной планиметрии, так как при их доказательстве не используется свойство параллельности. Следовательно, как в реализации L_{2 ,}так и в реализации Е²эти три признака равенства треугольников справедливы. Но если мы начнём строить логические следствия основанные на свойствах параллельных прямых, то обнаружим взаимно- исключающие факты. Например, в плоскости L_2,см. §5, мы “видим” два равных треугольника по трем равным углам, а также две прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Этого “увидеть” в плоскости R² мы не можем, в том же §5 есть и другие «неевклидовы » эффекты в плоскости Лобачевского L_{2 .}

Таким образом, одна и та же система аксиом абсолютной планиметрии , реализованная в неизоморфных моделях имеет противоречивые, взаимно-исключающие “визуальные” эффекты. Почему это возможно? Дело в том, что неизоморфные модели в нашем случае содержат такие отношения, которые связаны с реализацией неучтённых нами аксиом параллельности в этих реализациях, а эти аксиомы имеют противоположное толкование.

Вывод 1. Дискуссии, основанные на дедуктивно не полных и не категоричных системах аксиом, могут привести к взаимоисключающим выводам по причине того, что неизоморфные реализации могут содержать неучтённые аксиомы, имеющие в неизоморфных реализациях взаимно-исключающее толкование.

Вывод 2. Дедуктивная схема построения теории может не дать однозначного вывода, если не известны все базовые аксиомы теории.

8.10 Вопросы и задания к теме «Смысловой анализ текстовых продуктов»

Вопросы

1. Как определить наличие или отсутствие смысла в текстовом продукте?

2. Дайте определение парадоксу.

3. Приведите примеры парадоксальных умозаключений.

4. На чём могут быть основаны противоречия при дедуктивном построении утверждений.

Задания

1. Покажите, что доказательства «от противного» основаны на парадоксе пустого множества.

2. Приведите примеры парадоксов и проведите анализ смысла высказываний в этих парадоксах:

- парадокс «Ахиллес и черепаха »;

- парадокс конечной достижимости в системе линейного порядка.