Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства.

Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2, а также множество всевозможных фигур со свойствами, которые логически доказываются в рамках сформулированной аксиоматики. Эту модель будем обозначать e³ и называть трёхмерным евклидовым пространством.

В этом параграфе вначале будет построена арифметическая (координатная) модель трёхмерного евклидова пространства e³ по схеме Г. Вейля, а затем, по этой же схеме будет построена модель многомерного арифметического евклидова пространства. Эта схема называется обоснованием евклидовой геометрии по Вейлю (Герман Вейль, 1885-1955); она базируется на системе аксиом Вейля, называемой точечно-векторной, т.к. в ней неопределяемыми понятиями (объектами аксиоматики) являются точки и векторы. Точки и векторы называются основными геометрическими объектами в модели Вейля, вступающими в отношения, определяемыми тремя группами аксиом, образующими аксиоматику Г. Вейля. Вот эти три группы аксиом:

-группа аксиом векторного пространства;

- группа аксиом скалярного произведения;

-группа аксиом откладывания вектора.

Первые две группы аксиом нам уже известны. Для изложения третьей группы аксиом введем операцию откладывания вектора. Эта операция сопоставляет всяким двум точкам A,BÎe³ вектор и обозначается как отображение . Операцию можно представить как изображение направленного отрезка и определить следующими свойствами.

1. Для всякой фиксированной точки A₀Îe³ и произвольной точки BÎe³ отображение

(4.1)

является взаимно-однозначным отображением точек BÎe³ на множество векторов .

2.

(Аксиома треугольника). Для любых трех точек A,B,CÎe³ справедливо равенство

.

3.

Рис. 4.1

(Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0Îe³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки

Эти три аксиомы будем называть аксиомами откладывания вектора.

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве e³, а вектор – радиус-вектором точки в этом пространстве. Координатами точки MÎe³ называют координаты радиус-вектора (рис.4.1), где , , – направленные отрезки в e³, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (4.1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в e³, приходим к векторному равенству

. (4.2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0Îe³, представляет взаимно-однозначное соответствие между точками MÎe³ и арифметически упорядоченными тройками чисел и позволяет определить координаты всех точек М евклидова пространства e³.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойством 1 операции откладывания отрезка, и группой аксиом скалярного произведения, согласно которой имеют место следующие свойства скалярного произведения (3.6), (3.8), (3.9), (3.10) из §3.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину

(4.3)

Пусть = (u₁,v₁,w₁) и = (u₂,v₂,w₂) - направленные отрезки в e³ и пусть их координаты (u₁,v₁,w₁), (u₁,v₁,w₁) в Е³. Тогда, используя формулы (3.6), (3.9), (3.10) из §3, получаем формулу для косинуса угла образованного векторами и

(4.4)

Определение.

Арифметической, или координатной, моделью трёхмерного евклидова пространства e³ называется множество упорядоченных троек чисел (x,y,z) определяемых соответствием (4.2) вместе с формулами длины отрезка (4.З) и углов между направленными отрезками (4.4), выраженными через скалярное произведение. Арифметическую модель трехмерного евклидова пространства будем обозначать R³.

Вывод 1.

Для построения координатной модели трёхмерного евклидова пространства требуется задать:

· геометрическую модель направленных отрезков трехмерного векторного пространства e³ и изоморфную ей модель координатного векторного пространства Е³ ;

· структуру скалярного произведения, посредством которого вычисляются длины и углы;

· Структуру операции откладывания вектора состоящую из трёх аксиом Вейля.

Основные объекты геометрии - точки, прямые и плоскости в R³ определяются на «языке» векторов и координат и позволяют построить множество геометрических фигур. Рассмотрим пример такого построения.

Построение плоскости. Пусть плоскость П определяется точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и вектором нормали (A,B,C). Это эквивалентно тому, что если М(x,y,z) - произвольная точка плоскости П, то , что эквивалентно условию ( )=0, или в координатной форме П:

(x-x₀)A+(y-y₀)B+(z-z₀)C=0

Таким образом, искомая плоскость П в R³ - это множество троек чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению. Что даёт это уравнение? Оно позволяет для любой точки заданной своими координатами выяснить, где лежит эта точка: на плоскости, под плоскостью или над плоскостью.

Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в R³ и их метрические характеристики: длина, углы, площади и т.д.

Вывод 2.

Решение геометрических задач в модели R³ сводится к решению алгебраических задач: уравнений, систем уравнений, неравенств.