Аксиоматика рациональных чисел.

Конструктивное определение рациональных чисел Q дано в схеме 1.2. Приведем аксиоматическое построение множества рациональных чисел. Суть аксиоматического построения в том, что оно выдвигает такой минимум правил (аксиом), который обеспечивает построение множества Q со всеми операциями, перечисленными в п.1.2. Поэтомуаксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие действия с операциями сложения и вычитания, умножения и деления, сравнения чисел, и связь между этими операциями.

Определение 1.

Множество Q называется множеством рациональных чисел, а его элементы - рациональными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой рациональных чисел:

Аксиомы операции сложения.

Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент х+у Î Q, называемый суммой х и у. При этом выполняются следующие условия:

1. (Существование нуля) Существует элемент 0 (нуль) такой, что для любого хÎQ

х + 0 = 0 + х = х.

2. Для любого элемента х Î Q существует элемент -х Î Q (противоположный х) такой, что

х + (-х) = (-х) + х = 0.

3. (Коммутативность) Для любых х,у Î Q

х + у = у + х

4. (Ассоциативность) Для любых х,у,z Î Q

х + (у + z) = (х + у) + z

Аксиомы операции умножения.

Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент ху Î Q, называемый произведением х и у. При этом выполняются следующие условия:

5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1ÎQ такой, что для любого х Î Q

х ×1 = 1× х = х

6. Для любого элемента х Î Q , (х¹ 0) существует обратный элемент х^-1¹ 0 такой, что

х×х ^-1 = х^-1×х = 1

7. (Ассоциативность) Для любых х, у, z Î Q

х× (у× z) = (х× у)× z

8. (Коммутативность) Для любых х, у Î Q

х × у = у× x

Аксиома связи сложения и умножения.

9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z Î Q

(х+у) × z = x × z+у × z

Аксиомы порядка.

Всякие два элемента х, у, Î Q вступают в отношение сравнения £. При этом выполняются следующие условия:

10. (х у) Ù (у x) x = у

11. (х у) Ù (у z) x z

12. Для любых х, у Î Q либо х < у, либо у < x .

Отношение < называется строгим неравенством,

Отношение = называется равенством элементов из Q.

Аксиома связи сложения и порядка.

13. Для любых x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x + z £ y + z

Аксиома связи умножения и порядка.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Аксиома непрерывности Архимеда.

15. Для любых a > b > 0 существует m Î N и n Î Q такие, что m ³ 1, n < b и a= mb+n.

Следствие.

Аксиомы множества рациональных чисел Q позволяют:

1. Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов) в виде К-ичной системы.

2. Определить алгоритмы реализации операций ±, ´, :, £ в систематической записи рациональных чисел в выбранной К-ичной системе.