Цели краткого курса математики для гуманитариев
Данное учебное пособие выполняет скромные функции семестрового курса математики, читаемого на гуманитарном факультете НГТУ.
Первой целью курса является знакомство с идеями и методами формирования математических языковых систем как инструментов реализации и оптимизации интеллектуальных функций в области математического предмета.
Автор считает, что математические тексты и структуры в определённом смысле являются образцами организации языковых систем, призванными создавать простейшие интеллектуальные продукты. Насколько значительна роль математических стереотипов в исследовании общих текстовых структур, автору неизвестно. Очевидно лишь то, что рождение новых информационных технологий и автоматизация интеллектуального труда требует ревизии понимания назначений многих сложившихся языковых систем в науке и практике, и соответствующие исследования лежат в пересечении гуманитарных и естественных наук.
Мы будем знакомиться с математикой, как с искусственным языком, и рассматривать математический язык в качестве интеллектуального ремесла. Поэтому достижение поставленной цели проходит через демонстрацию этого ремесла на примерах, доступных при начальном изучении числовых и геометрических структур.
Второй целью изучения математики следует считать обоснование того факта, что математика является искусственной составляющей естественного человеческого интеллекта, развиваемой самим интеллектом для оптимизации своей деятельности.
Если считать, что одна из целей развития информационных технологий есть автоматизация интеллектуального труда, то мы с необходимостью признаем, что возможность компьютерного оперирования «образами» связана с преобразованием образов человеческих мыслей на язык отношений в определенных математических структурах. Поэтому, для начала, необходимо ответить на следующие вопросы:
- Как возникают математические структуры и что это такое?
- Как устроены такие структуры и как они функционируют?
Изучению этих вопросов мы посвящаем первую и вторую главы, названных нами, соответственно, «формирование числовых и геометрических систем» и «структурные свойства аксиоматических теорий».
Ответ на поставленные вопросы позволит обнаружить ограниченность применения дедуктивных схем моделирования окружающего нас мира и с необходимостью прийти к моделям случайных событий. Этой теме посвящена третья глава «Математическое моделирование случайных событий».
В конце курса в заключении подводятся итоги в виде достигнутых целей и ответов на поставленные вопросы, о которых можно говорить только после ознакомления с данным курсом.
7. Вопросы и задания к теме «Назначение знаковых языковых систем»
Вопросы.
1. Какими функциями, по Эйлеру, определяются языковые знаковые системы?
2. Как соотносятся между собой интеллект и мышление человека?
3. Что является аналогом слова, предложения и текста в музыкальной грамоте?
4. Что является аналогом слова, предложения и текста в живописи?
Задания.
1. Покажите, что в примерах 1-7 пункта 1.3 приведены языковые знаковые системы.
2. Приведите примеры знаковых систем, не являющихся языками.
3. Обоснуйте положение «язык – инструмент интеллекта и мышления»
“Господь Бог создал натуральные числа; все остальное дело рук человеческих”.
Леопольд Кронекер (1823-1891)
ГЛАВА I
Формирование аксиоматических систем в математике
Формирование числовых систем
Система натуральных чисел.
Человек обладает способностью образно различать количества предметов и представлять количественные образы в знаковой, или символьной, системе. Эта способность отражает свойство нашего интеллекта, которое мы называем умением считать или перечислять, а соответствующая символьная реализация этого процесса называется натуральным рядом.
Попробуем дать определение натурального ряда на русском языке, переведём это определение на английский, затем ещё на какой-нибудь язык и снова – на русский. К своему удивлению мы обнаружим, что получили новый текст, не вполне идентичный исходному. Несложно догадаться, что произошло. При переводе с другого языка мы подбираем слова, используя представителей класса синонимов, а математика использует слова как знаковые единицы, несущие вполне конкретный смысл. Чтобы избежать многозначности языкового толкования понятия «натуральный ряд», математики поступили следующим образом. Свойство человеческого интеллекта «перечислять объекты» рассматривается как функция интеллекта, сама же функция определяется наименьшим набором правил, которые полностью описывают действие этой функции. Чтобы найти искомые правила, построим файл, определяющий эмпирические, то есть опытные, способности человека, на которых основано построение интересующей нас знаковой системы натурального ряда.
| Ф.1. | Эмпирические свойства, определяющие построение натурального ряда |
| 1о. Любой объект может быть выбран начальным элементом перечисления. 2о. Для любого количества перечисленных элементов определено единственное следующее за ним количество. 3о. начальному элементу не предшествует никакое количество. 4о. Двум одинаковым количествам предшествуют два одинаковых количества. 5о. Построенное множество количеств однозначно в том смысле, что все другие построенные таким образом количества совпадают и могут отличаться только символьными системами. |
Теперь займемся формализацией перечисленных свойств. Это означает, что требуется построить систему аксиом (правил), отражающих перечисленные в файле операции 1о-5о в символьной форме.
Дадим символьную реализацию операций 1о-5о. Свойство 1о позволяет выбрать первый элемент, обозначим его 1. Свойство 2о устанавливает операцию следования на множестве элементов. Эту операцию представим в виде схемы
… → x → s(x) → … (1.1)
Заметим, что свойству 2о также удовлетворяет схема
… → x → s(x) → …
→ y (1.2)
Свойство 4о указывает, что схема (1.2) реализоваться не может. Свойство 3о устанавливает единственность первого элемента, и мы приходим к линейной цепочке
1 → s(1) → … → x → s(x) → … (1.3)
Эта цепочка образует «очередь», или, что, то же самое, линейный порядок. Последнее свойство 5о утверждает, что всякая другая линейная цепочка со свойствами 1о-4о будет отличаться только знаковой системой
1 → a → … → b → g → …
При этом порядок следования и количество операций следования, необходимых для достижения данного элемента, не изменятся. Это означает, в частности, что если знак, обозначающий количество пять, следует за знаком количества четыре, то это свойство не зависит от того, в какой знаковой системе оно выражено.
Приведем в немного измененном виде систему аксиом Джузеппе Пеано (1858-1932), формализующую построение правил, записанных в файле Ф.1. При этом каждую аксиому сформулируем подробно и представим кратко на языке символов формальной логики, принятых в международной практике (см. обозначения на стр. 97).
| Ф.2. | Система правил, формирующих натуральный ряд. |
| Множество символов, элементы которого удовлетворяют следующим свойствам 1о-5о, называется натуральным рядом N. | |
| 1о. Некоторый элемент называется первым и обозначается символом 1: $ x (x:= 1). | |
| 2о. Для всякого элемента x существует единственный элемент S(x) следующий за x: "x $ y (y = S(x)) "x, y (y = x Þ S(x) = S(y)). | |
| 3о. Единице не предшествует никакой элемент: "x (S(x) ¹ 1) | |
| 4о. Всякому элементу предшествует единственный элемент: "x, y (S(x) = S(y) Þ x=y) | |
| 5о. Аксиома индукции. Пусть подмножество ΜÌΝ содержит 1, и для его элементов x выполняются свойства 2о-4о (обозначим выполнение свойств 1о-4о T(x)). Тогда Ν Ì Μ. | |
| "x (xÎM)L(T(x)) Þ M=N |
Заметим, что из этой системы правил нельзя выбросить ни одно. Попробуем, например, выбросить пятое правило. Для этого рассмотрим знаковую модель, предложенную норвежским математиком Торальфом Сколемом (1887-1963). К линейной цепочке (1.3) добавляются последовательности блоков вида
…→ a-2 → α-1 → α-0 → α1 → a2 → …
тогда в новой цепочке найдутся новые элементы, которые нельзя представить в виде конечного числа операций S. То есть, найдутся элементы “y” модели Сколема, которые не удовлетворяют условию
y = S (S (…S(1))),
где S (S (…S(1))) - конечное число композиций операции следования.
Такие элементы y назовем недостижимыми. Таким образом, наличие правил 1-4 позволяет построить только линейный порядок - очередь, но элементы этой очереди могут оказаться недостижимыми.
В школьной программе математики натуральный ряд строится в десятичной модели 1, 2, 3,…, n, n+1, …, в ней свойство конечной достижимости выполняется, т.к. десятичная запись содержит информацию о порядке числа. Десятичная система использует конечный цифровой алфавит 0, 1, 2, …, 9. Суть построения символа целого числа в этой системе в том, что вводятся операции сложения и умножения, и закон записи имеет вид "a Î N
a = anan-1…a1a0 = an˙10n + an-1˙10n-1 + …+ a1˙10 + a0 ,
где a0, a1, …, anÎ(0, 1, …, 9)Ù(an ¹0).
Поскольку операции сложения и умножения ранее не фигурировали в модели Ф.2, то для построения десятичной записи элементов натурального ряда следует добавить аксиомы, определяющие операции сложения, умножения и свойства этих операций.
Добавляя к аксиоматике натурального ряда новые операции вместе с определяющими их аксиомами, мы не только расширяем свойства натурального ряда, но и расширяем само множество натуральных чисел. Рассмотрим этот процесс подробнее.