Достаточное условие возрастания (убывания) ф-й.

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале , если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, для которых x₁<x₂, верно неравенство .

Функция y=f(x) называется убывающей на интервале , если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, для которых , верно неравенство .

Необходимое условие возрастания функции. Если функция y=f(x) дифференцируема и возрастает на интервале , то для всех x из этого интервала.

Необходимое условие убывания функции. Если функция y=f(x) дифференцируема и убывает на интервале (a,b) , то для всех x из этого интервала.

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a,b) . Если во всех точках этого интервала , то функция возрастает на этом интервале, а если , то функция убывает на этом интервале.

40. Экстремумы ф-й.

Точка x = x₀ называется точкой максимума, а число — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x₀ , не совпадающих с x₀ , выполняется неравенство .

Точка x = x₀ называется точкой минимума, а число — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x₀ , не совпадающих с точкой x₀ , выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называютсяточками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума

Если x₀ — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

Достаточное условие существования экстремума

Если функция y=f(x) непрерывна в точке x = x₀ , дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x₀ производная меняет знак, то x = x₀ — точка:

а) — максимум, если , при

и , при /

б) — минимум, если , при

и , при .

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной:

Находится область определения функции.

Находится производная.

Определяются критические точки.

Выбираются из критических точек те точки, которые принадлежат отрезку.

Считаются значения функции в критических точках принадлежащих отрезку и на концах отрезка.

Среди полученных значений функции выбираются самое большое и самое маленькое.

41. Выпуклость ф-и вверх (вниз). Необх и дост усл-я перегиба ф-и.

Если график функции имеет касательную в точке x = x₀ , и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x₀ ; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.

График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b) , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.

Необходимое условие точки перегиба. Если x = x₀ — точка перегиба графика функции y-f(x), то или не существует

Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку меняет знак, то x₀ — точка перегиба графика функции y=f(x).

42. Асимптоты графика функции.

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, при которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат. Прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой, если выполнено хотя бы одно из условий ; .

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если .

Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если .

Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

43. Общая схема исследования ф-и и построения графика.

Если требуется построить график функции y=f(x), то надо предварительно исследовать эту функцию:

1.найти область определения D(f)

2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;

3) найти асимптоты;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) определить четность или нечетность , т.е. является ли график этой функции симметричным относительно оси ординат, или начала координат, или же такой симметрии нет;

6) найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания;

7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.

44. Дифференциал ф-и, его геометр смысл. Применение.

Дифф-лом ф-ции называется произведение производной этой ф-ции на приращение аргумента :

Дифф-л аргумента равен приращению аргумента: , поэтому дифф-л ф-ции равен произведению ее производной на дифф-л аргумента: .

Геом. смысл дифф-ла: Т.е. дифф-л ф-ции приближенно равен приращению ф-ции и пропорционален приращению аргумента .

F(x₀+ )=f(x₀)+ .

45. Определение ф-и нескольких переменных. Частные производных и полный дифференциал ф-и нескольких перем

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины Z, тогда говорят, что задана ф-я неск-ких переменных Переменные называют независимыми переменными, или аргументами. Z – зависимая переменная, символ f означает закон соответствия, а множество Х – область определения ф-ции.

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x₀,y₀)

Dz=f(x₀+Dx, y₀+Dy)-f(x₀,y₀) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x₀+Dx, y)-f(x₀, y₀)

DyZ=f(y₀+Dy, x)-f(x₀, y₀)

Частная производная ф-ция:

dz = - наз полным дифференциалом

Учитывая, что для ф-и f(x,y)=x, f(x,y)=y, df(x,y)=∆x=dx, df(x,y)=∆y=dy, полный диф-л можно записать в виде:

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине Dх и Dy, приращение функции Df»df. f(хо+Dх,yo+Dy)» f(xо,yо)+ f ‘x(xo,yo)Dx+ f ‘y(xo,yo)Dy

46. Экстремумы функций нескольких переменных. Необход и лост усл-е экстремума. Ф-и 2-х перем.

Z=f(x,y), M₀(x₀,y₀), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x₁,x₂,...x_n), то ¶Z/¶x_i=0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

AC-B²

где A= Z``<sub>XX</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>), C= Z``_yy(x₀,y₀), B= Z``_yx (x₀,y₀),

1) если D>0, то М₀ - точка экстремума;

если А<0 или С<0, то М₀ - точка max;

если А>0 или С>0, то М₀ - точка min.

2) если D<0, то экстремума нет

3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

48. Определение первообразной ф-и и неопределенного

Интеграла. св-ва НИ.

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Cвойства:

49. Замена переменной в НИ. Интегрирование по частям.

∫f(x)dx= [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t), dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)

Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной.

Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн. t=ψ(x) всегда сущ.

Вычислив интеграл в правой части по t,следует вернуться к переменной x

∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x)

1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a

dx=1/a dt

=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=

=1/a F(ax+b)+C

2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C

3 ∫ df(x)/f(x) = ln f(x) +C

Метод интегрирования по частям

Задано: U=U(x), V=V(x),

∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям

Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.

Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям:

1 ∫ ln^m(x)dx, ∫arcsin^mxdx, ∫arccos^m xdx,∫arctg^m xdx

2 ∫Pn(x)ln(ax+b)dx,∫Pn(x)e^axdx,∫ Pn(x)sinaxdx,

∫Pn(x)cosaxdx

3 ∫e^axsinbxdx,∫e^axbxdx

4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)^k

50. Интегрирование нектор выраж, содерж квадр трехчлен.

Нужно выделить из квадратного трёхчлена выражение, равное полному квадрату, сделав такое преобразование:

После этого сделаем линейную замену и получим интеграл одного из видов:

Далее разбиваем интеграл на два слагаемых и в первом, в числителе подынтегральной функции содержащем , делаем замену , или , согласно тому, что стоит в знаменателе. После этого первое слагаемое приводится к табличному интегралу. Второе слагаемое, с в числителе подынтегральной функции, тоже даёт табличный интеграл.

51. Интегрирование рациональных дробей.

Опр1. Многочленом в степени nназ. выражение вида P_n(x)=a₀+a₁x₁+…+a_n-1x^n-1+a_nx_n, где a_0,a_1,a_n- действит. числа, n>=0, n N₀.

Опр. 2. Рацион. дробью наз отношение 2-ух многочленов , при m=0, проблема интегрирования труда не составляет. Проблема вознивает, если m>0.В дальнейшем будет рассм. только правильные рацион. дроби (когда n<m), а при (n>=m) выполняется деление многочлена.

Интегр. прост. Дробей

1. = =

3. = = применяем табл. интегралы и возвращаемся к исходной переменной.

4.

= где, 1. Вычисл. иетодом подстановки ,2.см.3

47. Понятие об эмпирических формулах. Подбор параметров по способу наименьших квадратов. Выравнивание по прямой, параболе.

На практике часто приходится решать задачи сглаживанию эксперимент данных.

Пусть сущ завис-ть для 2-х переем-х, выраженная с пом таблицы, получ экспериментально

Требуется наилуч образом сгладить эксперимент завис-ть м/д переем-ми х и у, т.е. установить зав-ть м/д х и у в виде формулы y = f(x).

О. Формулы, служ для аналитич представлений эксперимент данных, называются эмпирическими.

Задача нах-я эмпирич формул разбивается на 2 этапа.

I этап

Устанавливается вид зависимости y = f(x) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).

II этап

Опред-ся неизв пар-ры этой ф-ии. Для этого применяют наиболее распр и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов.

Он состоит в следующем:

В кач-ве неизв пар-ра ф-и f(x) выб-т такие знач-я, чтобы суммы кв-тов невязок ( ) была мин. Невязка ( ) – это –откл-е от «теоретич» знач-й , найд по эмпирич формулам y = f(x) от соответствующих опытных знач-й .

Рассм-м функцию

(т.е. сумму квадратов всех невязок)

Пусть в кач-ве ф-и у = f(x) взята лин ф-я у = ax + b. Тогда задание сводится к отыскиванию пар-ов a и b, при кот ф-я принимает наим зн-е. Очевидно, что S = S(a,b) есть ф-я 2-х переем-х a и b, а и - пост числа, полученные экспериментально.

Т. о., достаточно исслед-ть ф-ю S = S(a,b) на экстремумы.

Находим частные производные

или

После преобразований, система принимает вид:

(**) Система (**) - система норм уравнений

т.к квадрат ∑ >∑-мы квадратов

Ф-я S = S(a,b) достигает своего min при a и b, найд из сист (**). Для этого проверим достаточные условия экстремума:

функция достигает min (глобальный min).

52.. Определение и задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Пусть ф. у = f(х) опр-на на отр. [а; b]. Разобьем отрезок [а; b] на n произвольн. частей точками а = x₀<x₁<x₂<…<x_n = b. Точки x_0, x₁, x₂,…,x_n наз-ся т-ми разбиения. В каждом из полученных частичн. отр-в [x_i-1; x_i] выберем произв. образом точку ξ, x_i-1 ≤ ξ ≤ x_i. Длину частичн. отр. обозначим ∆x_i = x_i - x_i-1. Сост-м сумму (1): σ = f(ξ₁) ∆x₁ + f(ξ₂) ∆x₂ +…+f(ξ_n) ∆x_n = . Сумма «сигма» назыв-ся интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b] соотв-щей данному разбиению отрезка [a, b] на частичн. отр-ки и данному выбору точек ξ_i.Обозначим через λ длину наибольшего отрезка разбиения.

Опр-е: Если сущ-ет конечный независящий от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки и от выбора точек ξi соответствующих частичных отрезков [xi-1; xi] предел интегральной суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на пром-ке от a до b и обозн- ся

(2)В этом случае ф-ция называется интегрируемой на отрезке [a, b], a – нижний предел

53. Свойства определенных интегралов.

1.

2.-

3.

4. .

5.

6. , если f(x)<=f(x)

7.

54.Теорема существования первообразной для непрерывной ф-и. Ф. Ньютона-Лейбница.

Ф-ция , где х [a;b] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если f(x) непрерывна на [a;b], то производная ф-ции существует в кафдой точке х [a;b] причём Ф`(x) =f(x)

Т: Если непрерывна на , справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница:

ВЫВОД ФОРМУЛЫ:

Рассм-м , т.к. , то - первообразная для . Но , также первообразная. Это значит что имеет место следующее равенство :

Подставим верхнюю границу:

55. Замена переменной и интегрирование по частям в ОИ.

Пусть заданны тогда имеет место интегрирование по частям:

→

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на , а непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла: