Точки экстремума. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные признаки существования локального экстремума.

Локальный максимум или минимум наз. экстремумом. Наиб. и наим. Значения функции на [a;b] наз. абсолютным экстремумом. Теорема: если f(x) диф. в окрестности точки x₀ (исключая x₀) и имеет в т.x₀ локальный экстремум, то её производная в этой точке =0 или не сущ. Точки, в которых произв.=0 или не сущ., наз. критическими. Геометр смысл: в точках экстремума f(x) касательная к графику //Ox, если сущ. производная=0. Сущ. несовпадающие левые и правые касательные, если F’(x₀-0) не = F’(x₀+0). Выяснить, какая из крит. точек функции будет точкой экстремума можно с помощью трёх достаточных условий сущ функции. Теор1: пусть x₀ крит.точка непрерывной f(x), тогда, если f’(x) при переходе в x₀ меняет знак с + (-) на – (+), то x₀-максимум (минимум). Теор2: если в Крит точке x₀ функция f(x) дважды диф и 2-ая производная в x₀<0 (x₀>0), то f(x) имеет в x₀ максимум (минимум). Теор3: пусть f(x) n-раз диф. в x₀, т.е. F’(x₀)=F’’(x₀)=F^(n-1)(x₀)=0, а Fⁿ(x₀) не =0, тогда если n чётная и Fⁿ(x₀)<0 (Fⁿ(x₀)>0), то x₀-максимум (минимум); если n-нечётная, то x₀- не точка экстремума.

1. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее(наименьшее) значение.

2. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) – на другом.

1. Функция, ОДЗ

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции - множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xÎX}.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) "xÎD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если

f(-x)= - f(x) "xÎD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁<х₂) выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁>х₂) выполняется неравенство f(x₁)>f(x₂).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке , если существует М>0, MÎR|"xÎданному промежутку |f(x)|£M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mÎR |"xÎданному промежутку m£f(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mÎR |"xÎданному промежутку m³f(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х₁ и х₂ соответствуют различные значения функции f(x₁) и f(x₂). Тогда для любого уÎУ мы сможем поставить в соответсвие хÎХ| y=f(x). Получает отображение f^-1: У®Х. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xÎD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tÎT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хÎХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=x^a, a=const, aÎR. D(f)=(0;+¥). Если aÎNÞD(f)=R.

2. Показательная. y=a^x, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+¥). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=log_ax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+¥), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х₀ (или при х →х₀ )называют число а, если для любой последовательности { х_n} значений аргумента , сходящейся к (при этом все х_n≠ х₀) последовательность значений функции сходится к пределу а.

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х₀ есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { х_n}, сходящейся к х₀ , соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а.

7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция f(x) наз.бесконечно малой при х→х_0, если

и бесконечно большой при х →х₀ , если

Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х →х₀) снова являются бесконечно малыми функциями (при х →х₀).