Построение эпюр в плоско-пространственных системах

Систему, состоящую из прямолинейных стержней, жестко соединенных между собой, расположенных в одной плоскости и нагруженных перпендикулярно к этой плоскости, будем называть плоско-пространственной.

В настоящем пособии будем рассматривать только жесткозащемленые плоско-пространственные системы (далее сокращенно: ППС). При этом возможны два основных варианта:

1) система располагается горизонтально, нагрузки приложены в вертикальных плоскостях (рис.15,а.,б),

2) система располагается в вертикальной плоскости, нагрузки приложены горизонтально (рис.15,в,г)

В первом случае (рис.15,а,б) в поперечных сечениях стержней системы могут возникать поперечная сила Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , изгибающий момент Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и крутящий момент Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru ; во втором случае - Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru . Очевидно, что поворотом на 90 градусов системы второго вида (рис.15,в,г) приводятся к системам первого вида, при этом Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru переходит в Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru - в Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением систем первого вида.

Известно, что при одновременном наличии в сечениях изгибаемой стержневой системы внутренних моментов и внутренних сил влияние последних на напряженно-деформированное состояние системы незначительно (исключение составляет "короткие" стержни), поэтому исключим из рассмотрения поперечную силу Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru .

Итак, остановимся на правилах построения эпюр Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru для плоско-пространственных систем.

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru

Рис.15

Пример 11. Рассмотрим ППС (рис.16,а). Прежде чем строить для этой системы эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , построим эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru для каждой из четырех возможных нагрузок (они представлены на схеме), так как вообще говоря, любые эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru в силу принципа независимости действия сил будут представлять собой алгебраическую сумму этих простейших эпюр, построенных от каждой нагрузки в отдельности, но, разумеется, с учетом места приложения нагрузок, их направлений и геометрической конфигурации системы.

Для достижения максимальной общности будем считать, что сила Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , момент типа Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и момент типа Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru ( имеется в виду плоскость действия каждого из них) приложены к концевому сечению (т.А на рис.16,а), а распределенная нагрузка приложена к первому от свободного конца участку стержня (стержень АВ на рис.16,а). Причем, все построения будем выполнять в общем виде, полагая, для наглядности, что a< l.

Пусть к плоско-пространственной системе (рис.16,в) приложена только сила Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru . Построим эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru для заданной системы. Здесь, как и при любой другой внешней нагрузке, более сложным является построение эпюры изгибающих моментов Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru . В соответствии с ранее оговоренными принципами, для построения эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru в заданной ППС выделим 6 характерных сечений. Так как имеется жесткая заделка, то расчет ведем от свободного конца. При вычислении изгибающего момента очень важно правильно определить плоскость изгиба стержня, которому принадлежит рассматриваемое характерное сечение, т.к. плечо действующей нагрузки необходимо определить именно в плоскости изгиба.

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru

Рис.16

Стержень АВ изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа;

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сжаты верхние волокна).

Стержень ВС изгибается в вертикальной плоскости, параллельной плоскости чертежа:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сила Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru не имеет плеча в плоскости изгиба!);

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сжаты верхние волокна).

Стержень СД, как и стержень АВ, изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа.

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сжаты нижние волокна).

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сила Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru не имеет плеча в плоскости изгиба).

Остановимся подробнее на определении изгибающего момента Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru . Как видно из приведенных выше значений: Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , то есть моменты в сечениях 2 и 5 (обратим внимание на их расположение, а не на нумерацию, которая, естественно, может быть совершенно произвольной) одинаковы по величине, но противоположны по направлению. Это утверждение можно доказать.

Причем, возможно как строгое доказательство, так и некоторые "нестрогие" рассуждения, приводящие к тому же факту. Начнем с последних. Под действием приложенной силы Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (рис.16,в) происходит "перекос" системы: точка В смещается вверх, а точка С - вниз; при этом обе точки располагаются на одинаковом расстоянии (в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа) от линии действия силы Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , следовательно, моменты в сечениях 2 и 5 одинаковы, но противоположны по знаку.

Для иллюстрации другого подхода к "нестрогому" доказательству утверждения о том, что Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru введем в рассмотрение так называемую скользящую систему координат (рис.16,в). Такое название связано с тем, что координатные оси как бы скользят вдоль ломаной продольной оси системы, не поворачиваясь вокруг нее. При этом на каждом участке плоско-пространственной системы ось z направлена вдоль продольной оси соответствующего стержня, ось y- вверх (или вниз) при расположении системы в горизонтальной плоскости, а ось x остается перпендикулярной к плоскости yoz. Как следует из чертежа, на участках АВ и СД ось x имеет противоположное направление, следовательно, моменты Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru имеют на этих участках разные знаки, а так как сечения 2 и 5 равноудалены от линии действия силы Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , то очевидно равенство моментов в этих сечениях по абсолютной величине.

И, наконец, рассмотрим более строгое доказательство. Двигаясь от свободного конца при выборе отсеченной части, мы получили: Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сжаты верхние волокна). Определим момент Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru в сечении 5, двигаясь при выборе отсеченной части со стороны жесткой заделки. Для определения момента таким способом необходимо знать реакции заделки. При действии на систему силы Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru из всех возможных в общем случае нагружения реакций в жесткой заделке возникают реакция Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и опорный момент Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , определяемые из условий равновесия:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru

Теперь, двигаясь со стороны жесткой заделки, для сечения 5 получим:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сжаты нижние волокна), то есть Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (момент Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru не влияет на величину Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , так как его плоскость действия перпендикулярна плоскости изгиба).

Очевидно, что подобные рассуждения можно провести при любой внешней нагрузке, поэтому в дальнейшем при построении эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru всегда будем руководствоваться правилом: изгибающий момент в сечении 5 равен изгибающему моменту в сечении 2 (опять-таки, имеется в виду положение сечений, а не их порядковые номера) и противоположен ему по знаку, при условии, что на участке 2-5 не приложен сосредоточенный момент, который для сечения 5 является изгибающим, то есть момент типа Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (рис.16,а). При наличии на участке 2-5 такого момента равенство ординат по модулю в сечениях 2 и 5 "искажается" на величину Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru в соответствующую направлению Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru сторону.

Теперь построим эпюру Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru .

Участок АВ не подвержен кручению, так как сила Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru приложена к продольной оси стержня АВ. Участок ВС закручивается силой Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru с плечом Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , следовательно:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru .

Участок СД также закручивается силой Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , но с плечом Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , то есть:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru .

Эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru представлены на рис.16,г.

Аналогичным образом строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов от распределенной нагрузки Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (рис.16,д), сосредоточенного момента типа Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (рис.16,ж) и сосредоточенного момента типа Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (рис.16,и).

Не останавливаясь детально на построении этих эпюр, отметим некоторые особенности. Эпюра Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru на участке под распределенной нагрузкой ( и только на этом участке!)- квадратная парабола, направленная выпуклостью навстречу нагрузке. На участке СД - противоположном тому, где приложена нагрузка Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru - эпюра Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru пересекает ось в точке, расположенной напротив равнодействующей распределенной нагрузки (рис.16,д).

Анализ эпюр от сосредоточенных моментов Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (рис.16,з) и Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (рис.16,к) позволяет сделать очевидный вывод о том, что если момент приводит к изгибу какого-либо стержня, то кручение на этом участке отсутствует и наоборот.

Теперь, учитывая накопленный опыт при построении эпюр от раздельного действия каждой из четырех нагрузок, рассмотрим более сложное нагружение (рис.16,а).

При указанных на этом рисунке нагрузках для построения эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru необходимо выделить 8 характерных сечений. Двигаясь от свободного конца, получим по участкам:

Участок АВ изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru

(сжаты нижние волокна).

Кручение на участке АВ отсутствует, так как сила Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и нагрузка Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru имеют нулевые плечи относительно продольной оси участка АВ.

Участок ВС изгибается в вертикальной плоскости, параллельной плоскости чертежа.

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сжаты верхние волокна);

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сжаты нижние волокна);

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , так как момент Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , приложенный к отсеченной части для сечения 5, действует в плоскости, перпендикулярной ВС и на изгиб участка ВС не влияет;

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (сжаты нижние волокна).

Для построения эпюры крутящих моментов на участке ВС рассмотрим отдельно участки 3-4 и 5-6, так как между сечениями 4 и 5 приложен момент Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru . Участок 3-4 закручивается силой Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru с плечом 3м и в противоположную сторону - нагрузкой Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru с плечом 1,5м:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (здесь знак "-" носит сугубо условный характер и может служить только для обозначения направления кручения). Участок 5-6 помимо силы Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и нагрузки Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru закручивается еще и моментом Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , причем, в том же направлении, что и нагрузкой Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , поэтому:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru

Участок 7-8 закручивается нагрузкой Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru с плечом 2м и в противоположную сторону - силой Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru с плечом 2м и моментом Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru , следовательно:

Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru

По вычисленным значениям строим эпюры Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru и Построение эпюр в плоско-пространственных системах - student2.ru (рис.16,б).

Наши рекомендации