Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
Касательная и нормаль к графику функции.
Дифференцируемость и непрерывность.
1.1.Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
Пусть функция определена на множестве внутренняя точка множества X, то есть принадлежит множеству с некоторой своей окрестностью. Аргументу дадим приращение , при этом функция получит приращение
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0, то есть
При этом используются обозначения:
– по Лагранжу; – по Лейбницу; – по Ньютону.
Запись следует понимать как производную функции в точке .
Физический смысл производной заключается в том, что
– мгновенная скорость прямолинейного движения в момент времени . В самых различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно величины x.
Геометрический смысл производной: рассмотрим график функции , MM0 – секущая.
Определение. Касательной к графику функции в точке M0 называется предельное положение секущей MM0, когда точка M движется к точке M0 по графику функции .
Также: – угол наклона касательной к оси оx, – угол наклона секущей к оси оy.
Если .
Рассмотрим : ; – производная функции в точке есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке
Замечание. 1) Если существует конечная производная , то к графику функции в точке можно провести единственную касательную;
2) Если , то касательная к графику функции в точке параллельна оси оx.
3) В точке касательная не существует и производная функции также не существует.
Касательная и нормаль к графику функции.
Составим уравнение касательной к графику функции в точке
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом и, считая получим уравнение касательной в точке M0:
Определение. Нормалью к графику функции называется прямая, которая проходит через точку касания перпендикулярно касательной.
Так как угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых связаны
соотношением уравнение нормали имеет вид:
Дифференцируемость и непрерывность.
Если функция имеет конечную производную в точке , то функция называется дифференцируемой в точке .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то функция непрерывна в точке .
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то в этой точке она имеет конечную производную Также по свойству пределов если , то при . Тогда , где при .
Получили, что непрерывна в точке по определению непрерывности функции на языке приращений.
Теорема доказана.
Лекция 2. Правила дифференцирования.
Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций