Абрамсон Я.И. ГОУ «Интеллектуал» стр. 1 12.12.2017

Абрамсон Я.И. ГОУ «Интеллектуал» стр. 1 12.12.2017

Конспект №3

Целочисленные задачи.

1. Докажите, что если к трёхзначному числу приписать справа то же самое число, то полученное шестизначное число будет кратно 7, 11 и 13.
2. К двузначному числу приписали слева и справа двойку. Получилось число , которое в 32 раза больше исходного числа.
   Каково же было исходное число ?
3. Четырехзначное число оканчивается цифрой 4. Если эту четвёрку переставить в начало числа, то оно уменьшится на 1107. Найдите это число.
4. Найдите двузначное число, которое при делении его на цифру его единиц даёт в частном цифру его единиц, а в остатке цифру его десятков.
5. Докажите, что если любое двузначное число написать три раза подряд: , то получившееся шестизначное число будет делиться на 7.
6. Четырехзначное число является кубом натурального числа. Найдите это натуральное число (рассуждениями, а не подбором!).
7. Докажите, что число -a делится на 37.
8. Найдите правильную положительную дробь, которая не изменится, если к числителю её прибавить некоторое натуральное число, а знаменатель умножить на это же число. Каково это число?
9. Найди все целые значения m, при которых корень уравнения mx+5x=20 является натуральным числом.
10. Найдите натуральные числа, разность квадратов которых равна 455.
11. Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число было задумано?
12. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633.
    Найдите данное число.
13. К данному трёхзначному числу приписали цифру 5 и из полученного четырехзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите данное трёхзначное число.
14. Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.
15. При каких натуральных n 3ⁿ –1 делится на 13?
16. При каких целых n число n⁴–6n²–16 является простым?
17. Найдите все двузначные числа, которые на 14 больше суммы квадратов своих цифр.
18. * Докажите, что при любом целом значении n число n³+35n делится на 6;
    число n⁵–5n³+4n делится на 120.
19. Решите в целых числах уравнение 5х²+6ху+у²=-7
20. * Коля перемножил два подряд идущих нечётных числа, а Вася перемножил три подряд идущих нечётных числа.
    Мог ли результат Коли оказаться на 2002 больше результата Васи?
21. Решите в целых числах уравнениех³ + х²у-х²+ху-2x+2у+4=0
22. Решите уравнение в целых числах: (К+2)(К+3)(К+5)(К+7)=4158.
23. Может ли число, записанное с помощью 100 нулей, 100 двоек и 100 единиц быть точным квадратом?
24. У числа 100! посчитали сумму цифр. У полученного числа вновь посчитали сумму цифр и т.д. В конце концов, получили однозначное число. Какое?
25. Верно ли, что если записать в обратном порядке цифры любого числа, то разность нового числа и исходного будет делиться на 9?
26. Докажите, что число 3999991 не является простым.
27. Докажите, что 30⁹⁹+61¹⁰⁰ 31.
28. *Существует ли восьмизначное число, все цифры которого различны, и которое делится на все эти цифры?
29. Решите в целых числах уравнение: ху=3(х+у)-5
30. Что больше, 99! или 50⁹⁹?
31. Произведение двух двузначных чисел состоит из четвёрок. Найдите эти числа.
32. Решите в целых числах уравнение 2х+5у=ху-1
33. Докажите, что следующие дроби не сократимы:
    а)
34. Докажите, что число делителей n нечётно «n=m².
35. Докажите, что уравнение 4^k-4¹=10ⁿ не имеет решений в натуральных числах.
36. Решите в целых числах уравнение + + =1
37. Решите в целых числах уравнение(2x+y)(5x+3y)=7.
38. Решите в натуральных числах уравнение х²-у²=69.
39. Про числа a, b, c, d известно, что a=bcd; a+b=cd; a+b+c=d; a+b+c+d=1.
    Что это за числа? (решение, найденное подбором не принимается).
40. *В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, бездетных семей нет. У каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек. Кого больше в этом доме: детей или взрослых?
41. Число 2004 представили в виде суммы пяти натуральных слагаемых и вычислили их наибольший общий делитель. Какое максимальное число могло при этом получиться?
42. Десятичная запись числа n²+2n, где n – натуральное число, оканчивается цифрой 4. Какая цифра стоит перед ней?
43. На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если всего проведено 45 прямых?
44. Find all natural a for which root of equation (a-1)x=12 is natural.
45. When one divides natural number a into natural number b, one gets quotient c and remainder d. May it happen that all these numbers – a, b, c and d be odd?
46. Prove, that remainder from division of prime number into 30 is either prime or 1.
47. To some two-digit number they added 1s in front and at the back of the number and the number had become 23 times greater. What was the number? (1 1=23 )
48. They scratched out one digit in two-digit number and it had become 31 times smaller.
    What digit and in which number had they scratched out?
49. First digit of a three-digit number is 8. If you move it to the last place in the number, the number will increase on 18. What is the number?

Пропорции и проценты.

Def. Равенство a:b=c:d называется пропорцией, а числа a, b , c и d – её членами.

1. Найди члены пропорции х₁:х₂=х₃:х₄ в которой первый член больше второго на 6, а третий больше четвёртого на 5. Сумма квадратов всех членов пропорции равна 793.
2. Статистики подсчитали, что брюнеты, составляя населения страны, выпивают всего кефира, производимого в стране, а оставшийся кефир допивают блондины. Во сколько раз в среднем брюнет потребляет больше кефира в день, чем блондин?
3. Виноград состоит на 99% из воды. Какую долю своего веса потерял подсохший виноград, в котором процент воды снизился до 98%?
4. В каком отношении нужно смешать 3%-ый и 30%-ый растворы, чтобы получить 12%-ый раствор?
5. Вода Тихого Океана содержит 35% соли. Сколько пресной воды надо добавить к 40кг такой воды, чтобы получить воду с 5%-ым содержанием соли?
6. Антикварный магазин, купив два предмета за 255р., продал их, получив 40% прибыли. Что стоил магазину каждый предмет, если на первом прибыли было получено 25%, а на втором – 50%.
7. From 22kg of fresh mushrooms one gets 2,5kg dry mushrooms, containing 12% of water. What is % of water in fresh mushrooms?
8. There was the same amount of water in two barrels. Firstly, they added 10% of water into the first barrel and took away 10% of water from the second one. Then they took away 10% of water from the first barrel and added 10% of water to the second.
   In which barrel now there is more water?
9. Three boxes are filled with nuts. In the second box there are 10% more nuts than in the first and 30% more than in the third one. How many nuts are in each box if in the first box there are 80 nuts more than in the third box?
10. a makes 80% of b and c makes 140% of b. Find a, b and c if c is 72 greater than a.

Деление числа в данном отношении.

60.Разделить:

а)36 в отношении 1:2; б)28 в отношении 1:2:4;
в)40 в отношении 1:3:4 г)54 в отношении 2:3:4; д)60 в отношении 3:4:5

Многочлены. Первое знакомство.

На самом деле, не первое, с многочленами второго порядка вы уже знакомы.

Def.Выражениевида сХ^ргде с – любое число, а р – натуральное число или ноль, называетсямономомили одночленом.При этом число с называется коэффициентом, а р – степенью монома. Степень обозначается deg (Degree). Примеры мономов:0,32Х⁵; deg(0,32Х⁵)=5;-2P²; deg(-2 P²)=2;-52,25V¹²; deg(-52,25V¹²)=12. Определим сложение для мономов одной и той же степени и одной и той же переменной: сХ^р+dX^p=(c+d)X^p. Конечная сумма мономов от одной и той же переменной называется полиномом или многочленом от одной переменной. Наибольшая из всех степеней мономов, входящих в эту сумму называется степенью полинома. Многочлены обычно записывают в порядке убывания степеней одночленов, начиная от старшего. Примеры:

Р(В)=- B³+2B-3, degP=3; P(F)=5F⁴-3,5F²+2F, degP=4;

P(V)=V¹⁰-13,1V⁶+2,8V⁵+14V⁴-2V², degP=10.

Мономы умножаются по правилу сХ^р´dX^q=cdX^p+q; сХ^р´dY^q=cdХ^рY^q.

Правило умножения многочленов следует отсюда, если воспользоваться дистрибутивностью. Если в многочлене присутствует только одна переменная, он называется многочленом от одной переменной, если же несколько, то он так и называется – многочленом от нескольких переменных. Вот примеры таких многочленов:

P(x,y)=x⁴-2x²y²+y⁴; P(x,y,z)=x+y+z; P(x,y,z,w)=x²+y²+zw.

Степень монома от нескольких переменных (являющегося произведением мономов от одной переменной) вычисляется как сумма степеней каждой входящей в него переменной. Так, например, deg(x²y³z⁴)=2+3+4=9. Степень многочлена-числа (называемого константой, ибо его значение не меняется, не зависит ни от какой переменной) вроде 3, -10, 5,5 равна нулю, так как, скажем 3=3×1=3×Х⁰. А вот степень нулевого многочлена – числа ноль, считается равной -¥. Мы можем определить сложение и сравнение этого символа с любым другим числом: -¥+а=-¥, -¥<a "a.
Других действий с этим символом и обычными числами мы не определяем.

1. Что можно сказать о степени суммы двух многочленов и степени их произведения?
2. Вычислите значение выражения:(b+c-2a)(c-b)+(c+a-2b)(a-c)-(a+b-2c)(a-b).

Упростите выражения:

1. (ax-2(a+2))(a(x-1)+2)+2(4-a²)+3a²x;
2. (3-b(c-1))(bc+4(b+1))+bc(bc+3b+1);

Докажите тождества:

1. (a+b)²(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)³;
2. (a+b)(a-b)²+2ab(b+a)-2ab(-a-b)=(a+b)³;
3. (a²+b²)(a⁴-a²b²+b⁴)-(a³-b³)(a³+b³)=2b⁶;
4. (p²+cq²)(r²+cs²)=(pr+cqs)²+c(ps-qr)² (тождество Эйлера).
5. При каких значениях параметра а многочлен, равный произведению (x²+x-1)(x-a) не содержит а) х² ? b)x?
6. При каких значениях параметра b многочлен, равный произведению
   (x²-10x+6)(2x+b) не содержит а)х² ?; b)имеет равные коэффициенты при x и при х³?

Problems in English

82.Tourists came out of the camp at 11a.m. At 11:30 one of them noticed that he had left compass in the camp and run back to the camp. Once he had picked it up, he run with it to catch up with his friends. He met the group at 1p.m. When did he come back to camp?

83.Father and son where skating at the skating-rink. From time to time the father left the son behind. When the son started to run in the opposite direction, they started to meet 5 times as often as before. How much the father is quicker than his son?

84.Prove the Triangle inequality: ½x+y½≤½x½+½y½. →½x-y½≥½x½-½y½.

Литература.

[1] Л. Э. Медников «Чётность», МЦНМО, М, 2009

[2] Т.А. Баранова, А.Д. Блинков и др. «Олимпиада для 5-6 классов. Весенний турнир Архимеда» МЦНМО, М, 2003.

Blaise Pascal - французский математик, физик, литератор и философ,

родился в 1623 году в семье председателя налогового управления. В 1631 году, после смерти матери, семья переехала в Париж.

Его отец Этьен самостоятельно занимался образованием мальчика и сам неплохо разбирался в математике, однажды открыл и исследовал неизвестную ранее алгебраическую кривую, с тех пор получившую название «улитка Паскаля». Отец старался обучить мальчика древним языкам, настаивая, чтобы тот не отвлекался на пустяки. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, Этьен кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции, однако запретил ему всякие исследования в этой области. Но запретный плод сладок, и Блез, закрывшись в своей спальне, принялся углём выводить на полу различные фигуры и изучать их. Когда отец случайно застал его за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясён: мальчик, не знавший даже названий фигур, самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида о сумме углов треугольника.

В 1634 году за обеденным столом кто-то зацепил ножом фаянсовое блюдо. Оно зазвучало. Но стоило прикоснуться к блюду пальцем, как звук исчез. Чтобы найти этому объяснение, Паскаль провёл серию опытов, результаты которых позднее изложил в «Трактате о звуках».

С 14 лет Паскаль участвовал в еженедельных семинарах Мерсенна. Здесь он познакомился с Дезаргом. В 1639 году он доказал теорему Паскаля: если вершины шестиугольника лежат на некотором коническом сечении, то три точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны, лежат на одной прямой. Этот результат и 400 следствий из него Паскаль изложил в виде трактата «Эссе о кониках» (не сохранился), который сейчас отнесли бы к проективной геометрии.

В январе 1640 года семья Паскалей переезжает в Руан. В эти годы здоровье Паскаля, и без того неважное, стало ухудшаться. Тем не менее, он продолжал работать.

Отец Блеза служил в Руане интендантом Нормандии и часто занимался утомительными расчётами. Паскаль задумал создать устройство, которое могло бы помочь этой работе.
В 1642 году Паскаль начал создание своей суммирующей машины «паскалины».
Машина Паскаля выглядела как ящик, наполненный многочисленными связанными друг с другом шестерёнками. Складываемые числа вводились соответствующим поворотом колёс. До 1652 года Паскаль построил около 50 вариантов своей машины. Несмотря на вызываемый ею всеобщий восторг, машина не принесла дохода своему создателю. Однако изобретённый Паскалем принцип связанных колёс почти на три столетия стал основой создания большинства арифмометров.

В 1646 году семья Паскаля, в том числе его сестра Жаклин Паскаль, приняла веру общины янсенистов, которых католическая церковь осудила как еретиков. Паскаль испытывает сомнения: не являются ли его научные изыскания греховным и богопротивным занятием? Однако до поры до времени он не оставляет свои исследования.

В 1647 году, несмотря на болезнь ног, Паскаль завершил «опыты, касающиеся пустоты» и доказал, что в природе нет так называемого «страха пустоты». Он изучал равновесие жидкости под действием атмосферного давления. Исходя из своих открытий, Паскаль изобрел гидравлический пресс, намного

опередивший технологию того времени. Филипп де Шампень. Блез Паскаль

Экспериментируя с барометром, Паскаль выясняет, что давление воздуха падает с высотой. Результаты опытов он изложил в книге «Новые опыты, касающиеся пустоты». Паскаль вошёл в историю физики, установив основной закон гидростатики, и подтвердил предположение Торричелли о существовании атмосферного давления.

В 1651 году отец, Этьен Паскаль, умер. Сестра Жильберта вышла замуж, младшая сестра, Жаклин, ушла в монастырь Пор-Рояль. Привычная жизнь Паскаля закончилась. Ему вдруг захотелось вырваться из храма науки, чтобы вкусить «прелестей» жизни. Свет встретил прославленного учёного с распростертыми объятиями. Знакомства с власть имущими, свободный вход в аристократические салоны, азартные игры,— вот что занимало Паскаля на протяжении нескольких лет. Эти занятия остались не без пользы для науки. В 1654 году, в переписке с Пьером де Ферма, на примерах из разных азартных игр закладываются основы теории вероятностей.

В комбинаторике исследованы свойства «треугольника Паскаля» и его применение к подсчёту числа сочетаний. У Паскаля множество планов на будущее. В письме Парижской академии он сообщает, что готовит фундаментальный труд под названием «Математика случая». Всё изменила одна роковая ночь.

24 ноября 1654, в половине одиннадцатого ночи, Паскаль, по его словам, пережил мистическое озарение свыше. Придя в себя, он тут же записал откровение на кусочек пергамента, который был зашит им в подкладку своей одежды. С этой реликвией Паскаль не расставался до самой смерти, после чего друзья и обнаружили её. Это событие коренным образом изменило жизнь Паскаля. Он совершенно прекращает занятия наукой как греховные. Единственным исключением стало фундаментальное исследование циклоиды (как рассказывали друзья, он занялся этой проблемой, чтобы отвлечься от зубной боли). Отныне он становится апологетом янсенизма и отдаёт все силы литературе, направив своё перо на защиту «вечных ценностей». Совершает паломничество по парижским церквям (он обошёл их все). Поселяется рядом с сестрой в монастыре (1655), где сочиняет «Письма к провинциалу»— блестящий образец французской литературы, содержащий яростную критику иезуитов и пропаганду истинных моральных ценностей, излагаемых в духе рационализма. «Будем же учиться хорошо мыслить: вот основной принцип морали»— призывает Паскаль.

«Письма» были опубликованы в 1656—1657 годах под псевдонимом и вызвали немалый скандал. Вольтер писал: «Делались попытки самыми различными способами показать иезуитов отвратительными; Паскаль сделал больше: он показал их смешными».

В 1657 году Гюйгенс издаёт книгу «О расчётах в азартной игре», первое руководство по теории вероятностей. Там приведены многие результаты Ферма и Паскаля.

С 1658 года здоровье Паскаля быстро ухудшается. Одолевает физическая слабость, появились ужасные головные боли. Гюйгенс, посетивший Паскаля в 1660 году, нашёл его глубоким стариком, хотя Паскалю было всего 37 лет. Врачи запретили ему любые умственные нагрузки, но больной умудрялся записывать всё, что приходило ему в голову, буквально на любом подручном материале. После смерти Блеза друзья-янсенисты нашли целые пачки таких записок, перевязанных бечёвкой, которые были ими расшифрованы и изданы книгой под названием «Мысли». В основном они посвящены взаимоотношению Бога и человека, а также апологетике христианства в янсенистском понимании.

«Мысли» вошли в классику французской литературы, а Паскаль стал единственным в новой истории великим литератором и великим математиком одновременно.

19 августа 1662 года после мучительной, продолжительной болезни Блез Паскаль скончался.

Абрамсон Я.И. ГОУ «Интеллектуал» стр. 1 12.12.2017

Конспект №3

Целочисленные задачи.

1. Докажите, что если к трёхзначному числу приписать справа то же самое число, то полученное шестизначное число будет кратно 7, 11 и 13.
2. К двузначному числу приписали слева и справа двойку. Получилось число , которое в 32 раза больше исходного числа.
   Каково же было исходное число ?
3. Четырехзначное число оканчивается цифрой 4. Если эту четвёрку переставить в начало числа, то оно уменьшится на 1107. Найдите это число.
4. Найдите двузначное число, которое при делении его на цифру его единиц даёт в частном цифру его единиц, а в остатке цифру его десятков.
5. Докажите, что если любое двузначное число написать три раза подряд: , то получившееся шестизначное число будет делиться на 7.
6. Четырехзначное число является кубом натурального числа. Найдите это натуральное число (рассуждениями, а не подбором!).
7. Докажите, что число -a делится на 37.
8. Найдите правильную положительную дробь, которая не изменится, если к числителю её прибавить некоторое натуральное число, а знаменатель умножить на это же число. Каково это число?
9. Найди все целые значения m, при которых корень уравнения mx+5x=20 является натуральным числом.
10. Найдите натуральные числа, разность квадратов которых равна 455.
11. Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число было задумано?
12. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633.
    Найдите данное число.
13. К данному трёхзначному числу приписали цифру 5 и из полученного четырехзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите данное трёхзначное число.
14. Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.
15. При каких натуральных n 3ⁿ –1 делится на 13?
16. При каких целых n число n⁴–6n²–16 является простым?
17. Найдите все двузначные числа, которые на 14 больше суммы квадратов своих цифр.
18. * Докажите, что при любом целом значении n число n³+35n делится на 6;
    число n⁵–5n³+4n делится на 120.
19. Решите в целых числах уравнение 5х²+6ху+у²=-7
20. * Коля перемножил два подряд идущих нечётных числа, а Вася перемножил три подряд идущих нечётных числа.
    Мог ли результат Коли оказаться на 2002 больше результата Васи?
21. Решите в целых числах уравнениех³ + х²у-х²+ху-2x+2у+4=0
22. Решите уравнение в целых числах: (К+2)(К+3)(К+5)(К+7)=4158.
23. Может ли число, записанное с помощью 100 нулей, 100 двоек и 100 единиц быть точным квадратом?
24. У числа 100! посчитали сумму цифр. У полученного числа вновь посчитали сумму цифр и т.д. В конце концов, получили однозначное число. Какое?
25. Верно ли, что если записать в обратном порядке цифры любого числа, то разность нового числа и исходного будет делиться на 9?
26. Докажите, что число 3999991 не является простым.
27. Докажите, что 30⁹⁹+61¹⁰⁰ 31.
28. *Существует ли восьмизначное число, все цифры которого различны, и которое делится на все эти цифры?
29. Решите в целых числах уравнение: ху=3(х+у)-5
30. Что больше, 99! или 50⁹⁹?
31. Произведение двух двузначных чисел состоит из четвёрок. Найдите эти числа.
32. Решите в целых числах уравнение 2х+5у=ху-1
33. Докажите, что следующие дроби не сократимы:
    а)
34. Докажите, что число делителей n нечётно «n=m².
35. Докажите, что уравнение 4^k-4¹=10ⁿ не имеет решений в натуральных числах.
36. Решите в целых числах уравнение + + =1
37. Решите в целых числах уравнение(2x+y)(5x+3y)=7.
38. Решите в натуральных числах уравнение х²-у²=69.
39. Про числа a, b, c, d известно, что a=bcd; a+b=cd; a+b+c=d; a+b+c+d=1.
    Что это за числа? (решение, найденное подбором не принимается).
40. *В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, бездетных семей нет. У каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек. Кого больше в этом доме: детей или взрослых?
41. Число 2004 представили в виде суммы пяти натуральных слагаемых и вычислили их наибольший общий делитель. Какое максимальное число могло при этом получиться?
42. Десятичная запись числа n²+2n, где n – натуральное число, оканчивается цифрой 4. Какая цифра стоит перед ней?
43. На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если всего проведено 45 прямых?
44. Find all natural a for which root of equation (a-1)x=12 is natural.
45. When one divides natural number a into natural number b, one gets quotient c and remainder d. May it happen that all these numbers – a, b, c and d be odd?
46. Prove, that remainder from division of prime number into 30 is either prime or 1.
47. To some two-digit number they added 1s in front and at the back of the number and the number had become 23 times greater. What was the number? (1 1=23 )
48. They scratched out one digit in two-digit number and it had become 31 times smaller.
    What digit and in which number had they scratched out?
49. First digit of a three-digit number is 8. If you move it to the last place in the number, the number will increase on 18. What is the number?

Пропорции и проценты.

Def. Равенство a:b=c:d называется пропорцией, а числа a, b , c и d – её членами.

1. Найди члены пропорции х₁:х₂=х₃:х₄ в которой первый член больше второго на 6, а третий больше четвёртого на 5. Сумма квадратов всех членов пропорции равна 793.
2. Статистики подсчитали, что брюнеты, составляя населения страны, выпивают всего кефира, производимого в стране, а оставшийся кефир допивают блондины. Во сколько раз в среднем брюнет потребляет больше кефира в день, чем блондин?
3. Виноград состоит на 99% из воды. Какую долю своего веса потерял подсохший виноград, в котором процент воды снизился до 98%?
4. В каком отношении нужно смешать 3%-ый и 30%-ый растворы, чтобы получить 12%-ый раствор?
5. Вода Тихого Океана содержит 35% соли. Сколько пресной воды надо добавить к 40кг такой воды, чтобы получить воду с 5%-ым содержанием соли?
6. Антикварный магазин, купив два предмета за 255р., продал их, получив 40% прибыли. Что стоил магазину каждый предмет, если на первом прибыли было получено 25%, а на втором – 50%.
7. From 22kg of fresh mushrooms one gets 2,5kg dry mushrooms, containing 12% of water. What is % of water in fresh mushrooms?
8. There was the same amount of water in two barrels. Firstly, they added 10% of water into the first barrel and took away 10% of water from the second one. Then they took away 10% of water from the first barrel and added 10% of water to the second.
   In which barrel now there is more water?
9. Three boxes are filled with nuts. In the second box there are 10% more nuts than in the first and 30% more than in the third one. How many nuts are in each box if in the first box there are 80 nuts more than in the third box?
10. a makes 80% of b and c makes 140% of b. Find a, b and c if c is 72 greater than a.

Деление числа в данном отношении.

60.Разделить:

а)36 в отношении 1:2; б)28 в отношении 1:2:4;
в)40 в отношении 1:3:4 г)54 в отношении 2:3:4; д)60 в отношении 3:4:5

Многочлены. Первое знакомство.

На самом деле, не первое, с многочленами второго порядка вы уже знакомы.

Def.Выражениевида сХ^ргде с – любое число, а р – натуральное число или ноль, называетсямономомили одночленом.При этом число с называется коэффициентом, а р – степенью монома. Степень обозначается deg (Degree). Примеры мономов:0,32Х⁵; deg(0,32Х⁵)=5;-2P²; deg(-2 P²)=2;-52,25V¹²; deg(-52,25V¹²)=12. Определим сложение для мономов одной и той же степени и одной и той же переменной: сХ^р+dX^p=(c+d)X^p. Конечная сумма мономов от одной и той же переменной называется полиномом или многочленом от одной переменной. Наибольшая из всех степеней мономов, входящих в эту сумму называется степенью полинома. Многочлены обычно записывают в порядке убывания степеней одночленов, начиная от старшего. Примеры:

Р(В)=- B³+2B-3, degP=3; P(F)=5F⁴-3,5F²+2F, degP=4;

P(V)=V¹⁰-13,1V⁶+2,8V⁵+14V⁴-2V², degP=10.

Мономы умножаются по правилу сХ^р´dX^q=cdX^p+q; сХ^р´dY^q=cdХ^рY^q.

Правило умножения многочленов следует отсюда, если воспользоваться дистрибутивностью. Если в многочлене присутствует только одна переменная, он называется многочленом от одной переменной, если же несколько, то он так и называется – многочленом от нескольких переменных. Вот примеры таких многочленов:

P(x,y)=x⁴-2x²y²+y⁴; P(x,y,z)=x+y+z; P(x,y,z,w)=x²+y²+zw.

Степень монома от нескольких переменных (являющегося произведением мономов от одной переменной) вычисляется как сумма степеней каждой входящей в него переменной. Так, например, deg(x²y³z⁴)=2+3+4=9. Степень многочлена-числа (называемого константой, ибо его значение не меняется, не зависит ни от какой переменной) вроде 3, -10, 5,5 равна нулю, так как, скажем 3=3×1=3×Х⁰. А вот степень нулевого многочлена – числа ноль, считается равной -¥. Мы можем определить сложение и сравнение этого символа с любым другим числом: -¥+а=-¥, -¥<a "a.
Других действий с этим символом и обычными числами мы не определяем.

1. Что можно сказать о степени суммы двух многочленов и степени их произведения?
2. Вычислите значение выражения:(b+c-2a)(c-b)+(c+a-2b)(a-c)-(a+b-2c)(a-b).

Упростите выражения:

1. (ax-2(a+2))(a(x-1)+2)+2(4-a²)+3a²x;
2. (3-b(c-1))(bc+4(b+1))+bc(bc+3b+1);

Докажите тождества:

1. (a+b)²(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)³;
2. (a+b)(a-b)²+2ab(b+a)-2ab(-a-b)=(a+b)³;
3. (a²+b²)(a⁴-a²b²+b⁴)-(a³-b³)(a³+b³)=2b⁶;
4. (p²+cq²)(r²+cs²)=(pr+cqs)²+c(ps-qr)² (тождество Эйлера).
5. При каких значениях параметра а многочлен, равный произведению (x²+x-1)(x-a) не содержит а) х² ? b)x?
6. При каких значениях параметра b многочлен, равный произведению
   (x²-10x+6)(2x+b) не содержит а)х² ?; b)имеет равные коэффициенты при x и при х³?