Решений систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пример. Решить систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.Полученный

Функция и ее основные свойства

Основные элементарные функции:

- постоянная у = с, с = const;

- степенная у = хⁿ, n Î R;

- показательная у = а^х, а > 0, a ≠ 1;

- логарифмическая у = log_ax, а > 0, a ≠ 1;

- тригонометрические у = Sin(x), y = Cos(x), y = tg(x), y = ctg(x);

обратные тригонометрические y = arcSin x, y = arcCos x и др.

Понятие предела функции в точке и на промежутке. Свойства пределов.

а) Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

Предел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|<e

limx_n=a

n®¥

-e<X_n-a<e

a-e<X_n<a+e

б) Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|<e

Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если a-б.м.в., то lima=0

4. предела б.б.в. не существует

5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в.

1. Предел суммы = суммы пределов:
limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б.м.в.

x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy.

2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.

limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва

x=a+a

y=b+b, где a и b - б.м.в.

x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то

­сумма б.м.в. = d(дельта)

xy=ab+d

xy®ab,

limxy=ab=limx*limy

3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела.

limCx=limC*limx=C*limx

4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0

limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b

x=a+a, y=b+b

x/y=(a+a)/(b+b)

Односторонние пределы функции в точке

Первый и второй замечательные пределы.

1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x®0

j

lim((Sina)/a)=1

x®0

S_DOAC<S_{сектораOAC}<S_DOCB

S_DOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то

S_DOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina

S_{сектораOAC}=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC)

S_DOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga

1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2

sina<a<tga//:sin

1<a/sina<1/cosa, =>cosa<sina/a<1,

limCosa<lim((Sina)/a)<lim1, по признаку

a®0 a®0 существования

предела ф-ции

lim((Sina)/a)=1

a®0

2ой: lim(1+1/n)ⁿ=e»2.7183

n®¥

Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и

x®¥ a®0

lim(1+1/n)^1/a=e

a®0

Непрерывность функции в точке и на промежутке.

x=x₀+Dx, Dx=x-x₀

Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

x®x₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.