Предполагаемая тематика работ в рамках проектной деятельности

5 - 7 классы:

"Зачем нужны ЭТИ числа?!"

1. "Я не могу обойтись без арифметики!".

Рекомендуется выделить основные направления своей жизнедеятельности на текущий момент времени и проанализировать где, когда и в какой момент времени Вам пригождались знания о числах. Провести опрос среди своих друзей и одноклассников бывали ли они в подобных ситуациях. Сделать выводы по каждой ситуации и изложить их в презентации. Желательно дополнить описание ситуации подходящими картинками и цитатами известных людей или известными из кинофильмов или мультфильмов. Сделать общий вывод (аргументированный).

2. "Числа в загадках, пословицах и поговорках".

Рекомендуется изучить различные сборники загадок, пословиц и поговорок. Выбрать те, что относятся к теме данной работы. Попробовать распределить их на группы по какому-либо принципу (учащийся должен согласовать это с учителем математики). Для каждой группы придумать название и дополнить актуальными картинками в презентации. Сделать общий вывод, в том числе, содержащий выводы по количеству и "качеству" содержащихся в них чисел (по каждому числу индивидуально). Собранный материал оформить в виде игры для внеклассного мероприятия.

3. "Может ли калькулятор полностью заменить устный счет?"

Рекомендуется привести многообразие ситуаций, в которых использование калькулятора при счете выглядело бы нелепым, смешным и пр. Результаты проделанной работы оформить в виде журнала, общую идею и название которого учащемуся предлагается придумать самостоятельно.

4. "Самые интересные числа!"

Рекомендуется сделать подборку (не более 15; например: "6", "8", "9" и пр.) из чисел, наиболее интересных, с Вашей точки зрения. Подборка чисел должна быть аргументированной и сопровождаться общей идеей (идею придумать самостоятельно). Собранный материал оформить в виде презентации.

5. "Мое любимое ЧИСЛО ___!"

В ходе работы учащийся должен написать эссе по выбранной теме для конкретного числа.

6. "Откуда взялись цифры и почему они такие?"

Рекомендуется вначале работы развести понятия "цифра" и "число". Далее работа должна содержать краткий и емкий материал из истории возникновения цифр и чисел. После чего должны быть найдены ответы на два основных вопроса по каждой цифре: "Почему люди записывают цифру___ таким образом___?" и "И почему эта цифра именно так называется?". Собранный материал оформить в виде презентации.

7. "Фокусы с числами. Попытаемся разгадать".

Рекомендуется подготовить несколько фокусов с числами, а затем привести разгадки для некоторых из них. Остальные предложить разгадать самостоятельно другим учащимся в классе. Данная работа может быть выполнена в паре, в зависимости от потребности в помощнике для выполнения фокусов.

8. "Развивающие игры с числами".

Рекомендуется придумать или позаимствовать несложные, но увлекательные игры с числами. Например, на картинке изображено несколько чисел. Можно сформулировать вопрос: "Какое число здесь лишнее?" или "Какого числа не хватает?" и пр. Учащиеся должны выявить закономерность и в соответствии с ней ответить на вопрос.

9. "Кроссворд".

Рекомендуется составить кроссворд по данной тематике. Придумать интересную идею. Например, задавать вопросы ни словами, а картинками или попытаться это сделать в стихотворной форме и пр.

10. "Тест".

Рекомендуется разработать тест по данной тематике. Вопросы теста должны быть как теоретическими (определения, свойства), так и практическими (умножение и деление столбиком, перевод неправильной дроби в смешанную и наоборот, рациональный способ выполнения упражнения на счет с несколькими действиями и пр.). По номерам верных ответов выбираются буквы, из которых в итоге получится цитата известного человека о числе.

8 - 9 классы:

"Поговорим о числах!"

1. "Считаем рационально!".

Рекомендуется провести анализ различных учебников по алгебре с целью подборки необходимого материала. Также следует рассмотреть материалы для подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике на сайте "ФИПИ" и др. доступных сайтах; иные сборники задач по алгебре (повышенный уровень сложности). В качестве результата данной работы может быть предложена методичка с большим объемом "типовых" и "интересных" задач вычислительного характера. Рекомендуется включить линейные уравнения, к которым сводятся некоторые задачи с номером 10 (задачи с прикладным содержанием) ЕГЭ по математике. Это объясняется тем, что сложность решения таких уравнений именно "вычислительная".

2. "Трансцендентные числа на прямой".

Рекомендуется в работу (помимо теоретического материала) включить задачи для работы с остальными учащимися типа: "Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являются следующие числа _____ (целые, рациональные и действительные)" с описанием методики их решения. Также в работе должны быть описаны действительные числа с подробным разъяснением понятия корня n-ой степени.

3. "Как много признаков делимости!".

Работа должна содержать многообразие признаков делимости, их доказательства и изобилие примеров их применения, в том числе, для работы с аудиторией. Результаты представить в виде презентации или буклета.

4. "Как представить натуральное число?".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть многообразие способов представления одного и того же произвольного натурального числа n (в виде дроби, корня n-ой степени, суммы меньших натуральных чисел и пр.; рассмотреть иные системы исчисления). Попытаться распределить эти способы на группы ИЛИ выделить некоторые группы (поскольку таких представлений может быть очень много). Пояснить для чего человечество задумалось на тем или иным способом представления натурального числа. Результаты представить в виде презентации или буклета.

5. "НОД и НОК".

Рекомендуется в работе привести основную теорему арифметики для целых чисел, определения НОД и НОК, описать их свойства и способы нахождения. Провести анализ различных учебников по алгебре, материалов для подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике на сайте "ФИПИ" и др. доступных сайтах, сборников задач по алгебре (повышенный уровень сложности) с целью подборки задачного материала. Далее применить использованные алгоритмы (способы) нахождения НОД и НОК для многочленов на примерах. В качестве результата данной работы может быть предложена методичка с большим объемом "типовых" и "интересных" задач.

6. "Последовательности чисел".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть само понятие последовательности, многообразие видов последовательностей (конечные и бесконечные, ограниченные и неограниченные и пр.), историю возникновения и область их применения. Также следует рассмотреть рекуррентные последовательности, их разновидности, описать геометрическую и арифметическую прогрессии как их частный случай, последовательность чисел Фибоначчи и другие исторические задачи данной тематики. В качестве результата данной работы может быть предложена методичка с большим объемом "типовых" и "интересных" задач (особенно по теме арифметические и геометрические прогрессии).

7. "Море интересных чисел!"

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть многообразие чисел, свойства которых представляют интерес с математической ("красивые свойства") и прикладной (указать область применения) точек зрения. Таковых, очевидно, огромное множество. Поэтому следует остановиться лишь на некоторых из них, при этом пояснить свой выбор. Собранный материал оформить в виде презентации.

8. "Какие популярные числа!".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть "популярные" числа. Популярность можно определить с помощью известных поисковых систем (Yandex, Google и пр.) с помощью запросов типа "числа(о) __(буква или первый слог)". Использовать следует допустимы буквы или их сочетания в качестве первого слога. Затем выяснить происхождение этих чисел (историю их возникновения). Попытаться определить причины их популярности. Сформулировать выводы и представить результаты работы в качестве презентации.

9. "Пифагоровы треугольники".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть данное понятие, изучить методику их нахождения в общем виде и привести их в таблице. Результаты представить в виде презентации.

10. "Здесь без чисел не обойтись!".

Рекомендуется выбрать сферу жизнедеятельности (архитектура, музыка, спорт и пр.) и показать как человечество использует нетривиальные знания о числах в этой сфере. Форма представления результата работы ‒ произвольная.

11. "Уравнения в целых числах".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию (нелинейных) уравнений с двумя переменными, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

12. "Неравенства в целых числах".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию (нелинейных) неравенств с двумя переменными, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

13. "Десятичная запись числа".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач (о перестановке, зачеркивании или приписывании цифр в натуральном числе; о последних цифрах натурального числа и пр.) по заданной тематике (числа могут быть различного вида и в различных формах записи), изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры:

Разность двух натуральных чисел равна 409. Если у одного из них зачеркнуть цифру единиц, равную 4, то получится 4. Найдите все пары таких чисел.

В трехзначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилост в 7 раз. Какую цифру в каком числе зачеркнули? Надите все решения.

14. "Деление с остатком".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач по заданной тематике, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры:

Найдите все натуральные числа, при делении которых на 6 в частном получится то же число, что и в остатке.

Докажите, что остаток от деления произведения любых двух последовательных натуральных чисел на натуральное число, непосредственно следующее за ними, равен 2.

15. "Приближенные вычисления с помощью рядов".

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач по заданной тематике, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

16. "Выборочный метод математической статистики".

Рекомендуется в ходе работы изучить следующий материал: задачи математической статистики, генеральная и выборочная совокупности, способы отбора, эмпирическая функция распределения, полигон и гистограмма; привести примеры решения задач.

17. "Некоторые статистические оценки параметров распределения".

10 - 11 классы:

"Как много о числах мы еще не знаем?!"

1. "Простые числа".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть область применения простых чисел и различные алгоритмы определения простоты числа. Привести примеры. Сложные алгоритмы указать "в назывном порядке" (с очень кратким описанием ввиду высокой сложности опорного теоретического материала), а простые алгоритмы (тест Ферма и др.) подробно описать и реализовать с помощью изучаемых в школе языков программирования. Можно использовать какую-либо версию системы компьютерной алгебры Maple для демонстрации работы сложных алгоритмов.

2. "Полезные числовые функции".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть понятие и свойства мультипликативной функции, в качестве ее примеров функции числа делителей и суммы делителей натурального числа, функций Эйлера и функций Мёбиуса. Привести примеры применения данных функций в решении алгебраических задач (хотя бы по одному примеру на каждую функцию). Для указанных в работе теоремы и формулы должны быть приведены доказательства.

3. "Цепные дроби".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть взаимосвязь теории цепных дробей с теорией приближений вещественных чисел рациональными, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики (например, с геометрией выпуклых многоугольников). Следует выяснить условие периодичности цепной дроби и то, насколько часто среди элементов цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка, ...). Привести примеры применения данной теории в решении алгебраических задач. Можно привести краткий обзор результатов, связанных с многомерными обобщениями классической теории цепных дробей, полученных в последнее время.

4. "Факторизация натуральных чисел".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть область применения указанных алгоритмов, в том числе алгоритмов факторизации больших чисел. Сложные алгоритмы указать "в назывном порядке" (с очень кратким описанием ввиду высокой сложности опорного теоретического материала), а простые алгоритмы подробно описать и реализовать с помощью изучаемых в школе языков программирования. Можно использовать какую-либо версию системы компьютерной алгебры Maple для демонстрации работы сложных алгоритмов.

5. "Числа Мерсенна".

Рекомендуется рассмотреть само понятие этих чисел, область их применения. Теоремы (хотя бы некоторые из них) желательно включить в теоретический материал с доказательствами.

6. "Числа Каннингама".

Рекомендуется рассмотреть само понятие этих чисел, область их применения. Теоремы (хотя бы некоторые из них) желательно включить в теоретический материал с доказательствами.

7. "Числа Кармайкла".

Рекомендуется рассмотреть само понятие этих чисел, область их применения. Теоремы (хотя бы некоторые из них) желательно включить в теоретический материал с доказательствами.

8. "Числа Ферма".

Рекомендуется рассмотреть само понятие этих чисел, область их применения. Теоремы (хотя бы некоторые из них) желательно включить в теоретический материал с доказательствами.

9. "Корень n-ой степени из комплексного числа".

Рекомендуется в ходе работы ознакомится с понятиями корня n-ой степени из 1 и корня n-ой степени из ненулевого комплексного числа, привести доказательство формул указанных корней, доказать утверждение об их количестве. Привести примеры вычисления корней различными способами. Работа должна содержать материал по формам записи комплексных чисел и их геометрической интерпретации.

10. "Треугольник Паскаля".

Рекомендуется в ходе работы ознакомится с понятием треугольника Паскаля, его свойствами и выяснить его взаимосвязи с треугольными и тетраэдрическим числами, а также числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами. Привести вводный (краткий) теоретический материал по всем указанным выше числам, подробно остановившись на понятии бинома Ньютона. Теоремы (хотя бы некоторые из них) желательно включить в теоретический материал с доказательствами. Придумать или найти в подходящих источниках не менее 5 задач, решение которых можно оптимизировать с помощью с треугольника Паскаля (решения указать в работе).

11. "Уравнения в целых числах".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию (нелинейных) уравнений с двумя переменными, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры: ; ; ; .

12. "Неравенства в целых числах".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию (нелинейных) неравенств с двумя переменными, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры:

Найдите все дроби с наименьшим из всех возможных числителем, которые заключены между 4/7 и 5/17.

Решите неравенство в целых числах .

13. "Десятичная запись числа".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач (о перестановке, зачеркивании или приписывании цифр в натуральном числе; о последних цифрах натурального числа и пр.) по заданной тематике (числа могут быть различного вида и в различных формах записи), изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Пример: Найти все такие пары натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения чисел a и b на 32.

14. "НОД и НОК".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач по заданной тематике, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры:

Найти все такие пары натуральных чисел, сумма которых равна 288, а наибольший общий делитель ‒ 36.

Натуральные числа a, b и с таковы, что НОК(a,b)=60, НОК(a,c)=270. Найдите (b,c).

5. "Степень с натуральным показателем".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач по заданной тематике, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры:

Являются ли точными числа: ; .

Докажите, что число ни при каком натуральном не является точным квадратом.

Докажите, что число является точным квадратом.

16. "Деление с остатком".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач по заданной тематике, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры:

Числа 200 и 1997 при делении на натуральное число a дают одинаковые остатки. Найдите все значения а.

Квадрат натурального числа n, увеличенный на 5, делится на 161 и при делении на 161 дает частное, равное неполному частному от деления n на 4. Найдите все такие n.

17. "Последовательности".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач по заданной тематике, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Пример: Найти сумму .

18 "Делимость".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач по заданной тематике, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры:

Какие две цифры нужно приписать справа к числу 1997 для того, чтобы полученное шестизначное число делилось на 101? Найдите все решения.

Натуральные числа x и y таковы, что и делятся на . Найти x и y.

19. "Текстовые задачи".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть коллекцию задач по заданной тематике, изучить методику их решения и полученные результаты оформить в виде сборника задач с решениями, в которым представлен краткий теоретический (справочный) материал.

Примеры:

Трое мальчиков хотели вместе купить две одинаковые игрушки. Сложив все имеющиеся у них деньги, дети не могли купить даже одну такую игрушку. Если бы у первого мальчика было вдвое больше денег, то им на покупку игрушек не хватило бы 34 рубля. Когда третьему мальчику добавили денег в размере в два раза большем, чем у него было, то после покупки игрушек у детей оставалось 6 рублей. Сколько стоили игрушки, если первоначально у второго мальчика было на 9 рублей больше, чем у первого?

Определить сумму всех таких натуральных чисел n, для которых числа 3920 и 4320 делятся без остатка на n и n+7 соответственно.

20. "Методы приближенного решения уравнений".

Рекомендуется в ходе работы рассмотреть различные методы (алгоритмы), алгоритмы подробно описать и реализовать с помощью изучаемых в школе языков программирования. Привести примеры.

Приложение 2

Рекомендации по проведению открытых уроков, внеклассных мероприятий

План мероприятия для 5 - 7 классов:

"Зачем нужны ЭТИ числа?!"