Связь между декартовыми и полярными координатами
Связь между декартовыми и полярными координатами
Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты и путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:
в то время как две декартовы координаты и могут быть переведены в полярную координату :
(по теореме Пифагора).
Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:
- Для , может быть произвольным действительным числом.
- Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в . Обычно выбирают интервал или .
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями ( обозначает обратную функцию к тангенсу):
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:[14]
Учитывая, что для вычисления полярного угла не достаточно знать отношение к , а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты .
Нормированные векторы
Вектор называется нормированным или единичным, если
Если то соответствующими этому вектору нормированными векторами будут
7) Понятие функции одной переменной
Рассмотрим два числовых множества X и Y. Правило f, по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y, называется числовой функцией, заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y.
Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:
1) множество Х (область определения функции);
2) множество Y (область значений функции);
3) правило соответствия f (сама функция).
Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x3. В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y, пишут y = f(x). Здесь "х" называют независимой переменной или аргументом, а "y" -зависимой переменной (т.к. выражение типа x3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х) или функцией от х. О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у. Например, если х=2, то функция f(x) =x3 принимает значение у= f(2) =23 =8.
Способы задания функции одной переменной
Существуют несколько способов задания функции.
Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x2. Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.
Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".
Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.
t | ||||||||||||
T,0С |
Степенные функции:
Функция вида у(х)=хn, где n – число Î R, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).
Степенная функция у=х²
1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
2. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;
3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).
4. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).
5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).
Степенная функция у=х³
1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:
2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;
4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).
Степенная функция с целым отрицательным показателем:
Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;
3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.
4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.
5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.
График функции , на интервале x Î [-3;3]
Степенная функция с дробным показателем
Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)
1. D(x) Î R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ;
2. E(y) Î (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;
3. Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.
4. Функция проходит через начало координат в любом случае.
График функции , на интервале x Î [0;3]
График функции , на интервале x Î [0;5]
График функции , на интервале x Î [-3;3]
Логарифмические функции:
Логарифмическая функция у = loga x обладает следующими свойствами :
1. Область определения D(x) Î (0; + ∞).
2. Область значений E(y) Î ( - ∞; + ∞)
3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).
4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.
График функции у = loga x может быть получен из графика функции у = ах с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.
График функции ; на интервале x Î [0;5]
График функции ; на интервале x Î [0;5]
Тригонометрические функции:
Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.
Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.
Функция y = sin (х).
1. Область определения D(x) Î R.
2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1].
3. Функция периодическая; основной период равен 2π.
4. Функция нечетная .
5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.
График функции у = sin (х)
График функции ; на интервале x Î [-2 ;2 ]
Функция y = cos(х).
1. Область определения D(x) Î R.
2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1].
3. Функция периодическая с основным периодом 2π.
4. Функция четная.
5. Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.
График функции у = соs (х)
График функции ; на интервале x Î [-2 ;2 ]
Функция y = tg х.
1. Область определения: D(x) Ï π/2 + πk, kÎZ.
2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)
3. π- основной период функции.
4. Функция нечетная.
5. Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn).
График функции у = tg х
График функции ; на интервале x Î (- ; )
Функция y = ctg х.
1. Область определения функции: D(x) Ï xπ/2 +πk, kÎZ.
2. Область значений функции E(y) Î (- ∞; + ∞).
3. Функция периодическая с основным периодом π.
4. Функция нечетная.
5. Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).
График функции у = ctg х
График функции ; на интервале x Î (-𝜋;)
Обратные тригонометрические функции:
Функции y = arcsin (х), у = arccos (х), у = arctg (х), у = arcctg (х) называют обратными тригонометрическими функциями.
Функция
y
=
arcsin
(
x
):
Свойства функции y = arcsin (x):
1. Область определения D(x)Î[−1;1]
2. Область значения E(y)Î [−π/2;π/2]
3. y=arcsin(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D
5. График y = arcsin(x) симметричен графику y = sin(x) относительно линии y=x
6. y=arcsin(x) нечетная функция т.е. ∀x∈[−1;1] arcsin(−x)=−arcsin(х)
График функции y = arcsin (x)
График функции ; на интервале x Î [- ;]
Функция
y
=
arccos
(
x
):
Свойства функции y = arccos (x):
1. Область определения D(x)Î[−1;1]
2. Область значения E(y)Î [0;π]
3. y=arccos(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D
5. График y = arccos(x) симметричен графику y = cos(x) относительно линии y=x
6. y=arccos(x) функция общего вида
График функции y = arccos (x)
8) Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.
Пусть множество — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.
Примеры
- Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
- Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
- Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом этой последовательности является слово «май».
Предел последовательности
Основная статья: Предел последовательности
Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.
Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.
Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.
9) Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).
Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.
10) Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.
Определения
[править]ε-δ определение
Пусть и .
Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого
Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.
В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .
[править]Комментарии
· Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции .
· Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.
[править]Точки разрыва
Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .
[править]Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:
тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе — устранимая особая точка).
Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
[править]Точки разрыва первого и второго рода
Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
· если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
· если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.
[править]Свойства
[править]Локальные
· Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
· Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .
· Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .
· Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .
· Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .
[править]Глобальные
· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
· Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .
· Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .
· Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .
· Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
· Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .
· Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
11) Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Бесконечно малая величина
Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
[править]Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
[править]Свойства бесконечно малых
· Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
· Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
· Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
· Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.
12) Рассмотрим теоремы о правилах предельного перехода. Т.1: Предел постоянной равен самой постоянной Доказательство следует из определения предела функции, так как если с = const.
Т.2: (о связи функции с ее пределом). Для того чтобы необходимо и достаточно выполнение равенства где — б.м. при х а
— б.м., х а)
Запишем цепочку равносильных утверждений, следующих из определения предела функции и определения б.м.:
Т.3: Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен сумме их пределов
Пусть тогда по теореме 2 име-
ем где — б.м. при
х а, следовательно, Используя лемму 1 о б.м., заключаем, что — б.м. при
и по теореме 2 получаем равенство b1 + b2
Т.4: Предел произведения конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен произведению пределов Методика доказательства аналогична доказательству Т.3. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Т.5: Предел отношения двух функций, имеющих пределы при х а, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль), т.е.
Пусть тогда, используя Т.2, аналогично доказательству Т.3 запишем
где Числитель последней дроби по леммам о б.м. является б.м. Покажем, что является функцией ограниченной, тогда дробь по лемме 2 о б.м. является б.м., и по Т.2:
Имеем в некоторой окрестности т. а для любого > 0 вследствие справедливости
т.е. ограниченность доказана
13) Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде
если существует.
[править]Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,
[править]Общепринятые обозначения производной функции в точке
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
14) Физический Изменения проявлений каких-либо свойств или состояний смысл объектов реального мира мы обычно связываем с течением реального ("физического") времени, При этом, мы легко выделяем направленность подобных изменений ("возрастание", "убывание") и их количественную значимость, отнесенную к единице измерения временного интервала наблюдения (т. е., "скорость" изменений).
Именно указанная особенность отражения в нашем сознании восприятия изменений окружающего мира позволяет рассматривать численное значение производной y'(x) к<