Связь между прямоугольными проекциями точки и ее ортогональными координатами.

Добавим к двум взаимно-перпендикулярным плоскостям П₁ и П₂ третью плоскость П₃, перпендикулярную каждой из них. Такая плоскость будет называться профильной плоскостью проекций (рис. 7). Эти плоскости пересекаются между собой соответственно по трем прямым: Ох, Оy, Oz, которые образуют оси декартовой системы координат ОХYZ. Три взаимно перпендикулярные плоскости, пересекаясь между собой, образуют 8 трехгранных углов или октантов. Возьмем точку А, лежащую в I-ом октанте и найдем ее проекции: к известным горизонтальной А₁ и фронтальной А₂ проекциям добавляется А₃ – профильная проекция точки А.

Рис. 7

Совместим все три плоскости в одну плоскость путем вращения плоскостей П₁ и П₃ вокруг осей Ох и Oz в направлении, указанном стрелками. Получим также плоское изображение (рис. 8), где горизонтальная А₁ и фронтальная А₂ проекции располагаются на одном перпендикуляре к оси Ох, а фронтальная А₂ и профильная А₃ располагаются на одном перпендикуляре к оси Оz. Легко видеть, что отрезок А₂А₁₂ характеризует расстояние от точки пространства до горизонтальной плоскости проекций и называется в геометрии высотой, а в аналитической геометрии он измеряется по оси Оz и называется аппликатой точки А. Отрезок А₁А₁₂ – глубина в геометрии, а в аналитической геометрии расположен по оси Оy и называется ординатой. Расстояние от профильной плоскости проекций измеряется отрезком А₂А₂₃ или ОА₁₂ или А₁А₁₃, в начертательной геометрии он называется широтой, а в математике – отрезок, измеренный по оси Ох, называется абсциссой точки А.

Рис. 8

Таким образом, точка пространства может быть задана на эпюре Монжа или своими проекциями, или своими координатами. А именно, горизонтальная проекция А₁ определяется координатами Х и У, фронтальная проекция А₂ – координатами Х и Z, а профильная проекция А₃ – координатами У и Z. Координаты точки являются числами относительными.

Прямая линия. Плоскости.

Задание и изображение прямой.

Известно, что прямая линия l в пространстве определяется положением двух ее точек А и В. Следовательно, выполнив комплексный чертеж этих двух точек и соединив одноименные проекции точек прямыми линиями, получим соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой (рис. 9).

Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения.

Прямую, параллельную или перпендикулярную одной из плоскостей проекций, называют прямой частного положения.

Рис. 9

Задание и изображение плоскости.

Известно, что в элементарной геометрии плоскость определяется:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой;

б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

в) двумя пересекающимися прямыми;

г) двумя параллельными прямыми;

д) любой плоской фигурой.

Рис. 10

На комплексном чертеже плоскость задается проекциями выше указанных элементов. Наиболее часто плоскость в начертательной геометрии задается проекциями треугольника (треугольной плоскости). Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (рис. 10).