Уравнение линии на плоскости

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами.

Любую линию в принципе можно выразить соответствующим уравнением. Однако не всякое уравнение на определяет на плоскости некоторую линию.

Например: определяет только одну точку (0;0);

не определяет никакого множества точек, т.к. левая часть уравнения не может равняться нулю.

Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии , надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению.

Уравнения линии могут быть самыми различными, однако надо отметить, что не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.

Взаимное расположение двух линий

Чтобы определить взаимное расположение 2-х линий, необходимо знать уравнений этих линий. Если система этих уравнений совместна, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений

Например, прямая линия и окружность имеют 2 общие точки, так как система из этих уравнений имеет два решения:

.

Уравнение прямой на плоскости

В декартовой системе координат рассмотрим прямую , расположенную под углом к оси (рис. 3.7).

Выберем на прямой L произвольную точку . Из найдем тангенс угла наклона прямой: . Введем угловой коэффициент прямой . Из последнего равенства (3.1)

Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Частные случаи уравнения (3.1):

1) Если , тогда и уравнение (3.1) представляет прямую, проходящую через начало координат под углом к оси (рис. 3.8).

2) Если (т.е. ), тогда и уравнение (3.1) представляет собой прямую, параллельную оси (рис. 3.9).

3)Если , тогда прямая (рис. 3.10). Предположим, что отсекает на оси отрезок, равный (рис. 3.10). Очевидно, что уравнений такой прямой .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении

Пусть прямая образует с осью угол и проходит через точку . Т.к. , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.1), т.е. . (3.2) Вычитая из (3.1) уравнение (3.2), получим . (3.3)   Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть известны две точки, принадлежащие , . Запишем уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту : . (3.4) Т.к. точка также принадлежит , то ее координаты будут удовлетворять данное равенство: .

Из последнего равенства . Подставляя выражение для в уравнение (3.4): , получим уравнение прямой по двум точкам

(3.5).

Уравнение пучка прямых

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение называется уравнением прямой в отрезках.