Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2. (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru (9)

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru (10)

Это условие может быть записано также в виде

k1k2 = -1. (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A1A2 + B1B2 = 0. (12)

Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Вопрос

Расстояние от точки до прямой

Теорема.Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru .

Доказательство.Пусть точка М 11, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru (1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru ; φ= p /4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0; Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .

k = Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru . Тогда y = Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru откуда b = 17. Итого: . Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Вопрос

Окружность

Окружностью ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R . Число R > 0 называется радиусом окружности.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О ( х0 , у 0 ) имеет вид:

( х – х0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 = R 2 .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

х 2 + у 2 = R 2 .

Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка окружности ( рис.1 ), тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

( х1 – х0 ) ( х – х0 ) + ( у1 – у 0 ) ( у – у 0 ) = R 2 .

Условие касания прямой y = m x + k и окружности х 2 + у 2 = R 2 :

k 2 / ( 1 + m 2 )= R 2 .

Вопрос

Эллипс

Эллипсом ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Уравнение эллипса ( рис.1 ) :

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ ( рис.1 ) , при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY , а при a = b эллипс становится окружностью ( фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

Отрезок F1F2 = 2 с , где Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осьюэллипса. Число e = c / a , e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2+ b 2 .

Вопрос

Гипербола

Гиперболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Уравнение гиперболы ( рис.1 ) :

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок F1F2 = 2 с , где Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осьюгиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетомгиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы.

Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид:

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Условие касания прямой y = m x + k и гиперболы х 2 / a 2 – у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2– b 2 .

Вопрос

Парабола

Парабола(рис. 4.16)

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Пусть на плоскости заданы точка F и прямая Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru . Точка F называется фокусом, прямая Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru - параметр, Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru - фокус, Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru - фокальный радиус.

Каноническое уравнение: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Эксцентриситет: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Фокальный радиус: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Уравнение директрисы: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Уравнение касательной в точке Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Свойство касательной к параболе: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru (М - точка касания; N - точка пересечения касательной с осью Ox).

Уравнение нормали в точке Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Уравнение диаметра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом k: y = p/k.

Параметрические уравнения параболы: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Полярное уравнение: Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Вопрос

Векторы в пространстве

Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A) называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный вектору а, обозначается - а .

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через e . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом вектора a и обо значается a °.

Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектор а и b называются равными (а = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости - student2.ru

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство b =d , но а¹ с. Векторы а и с — противоположные, а =-с.

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны

Наши рекомендации