Неопределенный интеграл. Его свойства и методы вычисления.
Неопределённый интегра́л для функции 
— это совокупность всех первообразных данной функции.
Если функция определена и непрерывна на промежутке 
и 
— её первообразная, то есть 
при 
, то
,
где С — произвольная постоянная.
Если 
, то и 
, где 
— произвольная функция, имеющая непрерывнуюпроизводнуюПодведение под знак дифференциала
При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:
]Основные методы интегрирования
1. Метод введения нового аргумента. Если
то
где 
— непрерывно дифференцируемая функция.
2. Метод разложения. Если
то
3. Метод подстановки. Если 
— непрерывна, то, полагая
где 
непрерывна вместе со своей производной 
, получим
4. Метод интегрирования по частям. Если 
и 
— некоторые дифференцируемые функции от 
, то
Таблица основных неопределённых интегралов
Приложение определенного интеграла в геометрии.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
, прямыми х = а, х = b и осью Ох, вычисляется по формуле
(64)
Если 
, то 
.
Пусть 
и 
– непрерывные на 
функции и 
при любом 
. Тогда площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
, вычисляется по формуле
. (65)
Действительно, если функции 
, то данная формула является очевидным следствием того, что площадь фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций (рис. 14)
.
Если графики функций 
и 
полностью или частично расположены ниже оси 
, то существует константа 
, такая, что 
и 
.
Сделаем замену 
(рис. 15). Тогда очевидно, что
.
| Рис. 14. Вычисление площади криволинейной фигуры | Рис. 15. Вычисление площади криволинейной фигуры |
Пример 5.3.1. Вычислить площадь, ограниченную графиками кривых 
и 
на отрезке 
.
Решение. Найдем точки пересечения графиков и . Для этого решим уравнение 
. Получаем 
и 
. При этом 
и 
соответственно. Таким образом, точки 
и 
– точки пересечения данных графиков (рис. 16).
Рис. 16. Рисунок к примеру 5.3.1
Из рисунка видно, что площадь 
, где 
– площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком , а 
– площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком . Поэтому
.
Ответ: 
.
22. Двойные повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Определение двойного интеграла Пусть в некоторой области D на координатной плоскости XOY определена функция двух переменных z = f (x, y). Предполагается, что граница области D состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y = f (x) или x = φ (y), где f (x) и φ (y) – непрерывные функции. 1. Разобьем область D на бесконечно малые ячейки прямыми, параллельными координатным осям. 2. В каждой ячейке выберем точку Ci,j(xi, yj). 3. Вычислим значения f (xi, yj) функции в этой точке. 4. Эти значения f (xi, yj) умножим на площади ячеек, из которых бралась точка: f (xi, yj)·Δ xi·Δ yj. 5. Все эти произведения сложим:  . Полученная сумма называется двойной интегральной суммой. Назовем диаметром d(D) области D наибольшее расстояние между точками этой области. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей Di  . О п р е д е л е н и е. Двойным интегралом называется предел двойной интегральной суммы при условии стремления к нулю диаметров всех ячеек, если он существует и не зависит от способа разбиения области D, от способа выбора точек Ci,j (xi, yj) внутри каждой ячейки  . В этом случае функция f (x, y) называется подынтегральной, D — областью интегрирования, x и y — переменными интегрирования, ds (или dx·dy) – элементом площади. Мы предполагаем, что функция f (x, y) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т.е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1} следующим образом:  Т е о р е м а 1. Функция f (x, y), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, интегрируема в этой области. Т е о р е м а 2. Функция f (x, y),ограниченная в замкнутой ограниченной области D и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y = ψ(x) или x = φ (y), интегрируема в этой области. Свойства двойных интегралов 1. Линейное свойство  . 2. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и  3. Аддитивное свойство по области интегрирования  . 4. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка ( ξ; μ), что  , где s — площадь фигуры D. Сведение двойного интеграла к повторному Область D называется правильной вдоль оси OY, если прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области D в двух точках.  Пусть область правильная вдоль оси OY, нижние точки границы лежат на линии с уравнением у = φ (х), верхние — на линии с уравнением у = ψ(х). Тогда двойной интеграл можно привести к повторному  Примеры Пример 1. Вычислить  , где D = {(x; y)| 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2}. Решение. Область интегрирования представляет собой прямоугольник. Преобразуя двойной интеграл к повторному, получим  . Пример 2. Вычислить интеграл  по области G={(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1- x}. Решение. Область G представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой y = - x + 1. Следовательно, у1(х) = 0, у2(х) = 1 − х. Преобразуя двойной интеграл к повторному, получим  . З а м е ч а н и е. Если область D не удовлетворяет условиям правильности, то необходимо область D разбить на части, каждая из которых удовлетворяла бы условиям правильности, и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов отдельно. Формула Грина Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру L с двойным интегралом по области D, которую охватывает этот контур
Д о к а з а т е л ь с т в о: Рассмотрим правильную область по оси Oх и Oу (смотри рисунок.).
То есть
Аналогично доказывается
Складывая эти два соотношения, получим формулу Грина.
| ||||||
