Геометрический и механический смысл первой производной.

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x₀ и x₀ + : f ( x₀ ) и f ( x₀ + ). Здесь через обозначено некотороемалое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x₀ + ) - f ( x₀)называется приращением функции. Производной функции y = f ( x ) в точке x₀называется предел:

Если этот предел существует, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x₀ . Производная функции f ( x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ , f ( x₀) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x₀) имеет вид:

y = f ’( x₀) · x + b .

Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x₀) = f ’( x₀) · x₀ + b ,

отсюда, b = f ( x₀) – f ’( x₀) · x₀, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f ( x₀) + f ’( x₀) · ( x – x₀) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t₀ до t₀ + точка перемещается на расстояние: x ( t₀ + ) - x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна: v_a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t₀) материальной точки в момент времени t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v ( t₀) = x’ ( t₀) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

Примеры задач

Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций и .

Решение.

I способ.

Прямая является общей касательной графиков функций и , если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке.

- уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке с абсциссой x0

- уравнение касательной к графику функции y=x3 в точке с абсциссой x1

Прямые совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны. Отсюда

Решением системы будут

Уравнения общих касательных имеют вид:

16. Правила дифференцирования. Производные сложной, обратной и неявной функции.
Правила дифференцирования
При дифференцировании константу можно выносить за производную:

Правило дифференцирования суммы функций:

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

Правило дифференцирования функции в степени другой функции:

Правило дифференцирования сложной функции:

Правило логарифма при дифференцировании функции:

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

Пример 1

Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем