Точки разрыва первого и второго рода

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

· если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

· если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Свойства:

Локальные

· Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

· Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

· Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

· Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

· Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Глобальные

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

· Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

· Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

· Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

· Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

· Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

· Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Производные и дифференциалы высших порядков

· Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

· , или .

· Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, то есть .

· Производная есть скорость изменения функции в точке х.

· Отыскание производной называется дифференцированием функции.

· Формулы дифференцирования основных функций:

3. Основные правила дифференцирования

Пусть , тогда:

7) Если , то есть , где и имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции).

Примеры:

Производные высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))', n ϵ N, f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)), d⁰f(x) = f(x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.